Cuadratura de gauss

Cuadratura Gaussiana
INTRODUCCION
Aqui examinamos un procedimiento para obtener una fórmula de integración numérica de orden arbitrario. La técnica de cuadrátura Gaussiana que produce fórmulas dealto grado utilizando puntos distribuidos en el intervalo de integración en forma no uniforme.
Integración Numérica
Cuadratura gaussiana:
Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodosequidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puedeseleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.
La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima.
El método consiste en seleccionar los nodos x1, x2,. . ., xn en [a, b] y loscoeficientes c1, c2,. . ., cn que minimicen el error de la aproximación
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Reglas de Cuadrátura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma
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Note que si el integral estadado en un intervalo arbitrario [a,b] entonces mediante el cambio de variables
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tenemos que
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lo cual nos da una integral en [-1,1]. Asi que sin perdida de generalidad podemos asumir que elintegral es en [-1,1].
Sean x1,x2,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w1,w2,…,wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos xj's y los pesos wj's se determinande modo que la fórmula de integración numérica
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sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., In(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como In é I son operadoreslineales, basta verificar que
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Caso n=1: Aqui I1(f)=w1f(x1) y requerimos que I1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I1(x)=2x1, de donde obtenemos quex1=0. Tenemos pues la fómula numérica I1(f)=2f(0) lo cúal se conoce como la fórmula del punto medio.
Caso n=2: Tenemos ahora que I2(f)= w1f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3....