Cuadratura De Gauss

INTEGRACION POR CUADRATURA GAUSSIANA
 
 
La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2,… Xn en el intervalo [ a, b ] y los coeficientes C1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación
 
 
[pic]
 
 
Para resolver cualquier problema por mediode la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los limites de integración a [ -1, 1 ] mediante la siguiente formula:
 
Z = 2x – (a+b)
2a
 
Posteriormente tenemos que efectuar un cambio de variable a la función para que quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:
 
f(x) = f( (b-a)Z + (a+b))
2. 2                              2
 
Luego tenemos que cambiarnuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros términos estén en función de “Z”.
 
dx = b-a dz
2
 
Por ultimo determinamos el numero de puntos en que queremos dividir nuestro intervalo, mientras mas puntos tomemos mejor será nuestra aproximación.
 
|No. de Puntos |Coeficientes Wi |Raices Zi |
|2 |W1 =W2 = 1.0 |-Z1 = Z2 = 0.5773502 |
|3 |W2 = 0.88888 |Z2 = 0.0 |
| |W1= W3 = 0.55555 |-Z1 = Z3 = 0.7745966 |
|4 |W2 = W3 = 0.6521451549 |-Z2 = Z3 = 0.33998104|
| |W1 = W4 = 0.3478548451 |-Z1 = Z4 = 0.861136311 |
|5 |W3 = 0.56888888 |Z3 = 0.0 |
| |W2 = W4 = 0.4786286705 |-Z2 = Z4 = 0.53846931 |
| |W1 = W5 =0.2369268850 |-Z1 = Z5 = 0.90617984 |


 
 
 
 
 
 
= (7 ln |7| - 7) - (3 ln |3| - 3) = 6.6213 - 0.2958
 
= 6.32546
 
x = 3 = z = 2(3) - (3+7) = 6 - 10 = -4 = -1
7 - 3 4 4
 
x = 7 = Z = 2(7) - (3+7) = 14 - 10 = 4 = 1
7 - 3 4 4
 
ln |x| = f( 7-3 z + 3+7 ) = f( 4 z + 10 ) = 2Z + 5 =ln |2z + 5|
2 2 2 2
 
dx = 7-3 dz = 4 dz = 2z
2 2
 

| |


 
 
 
 
 
Usando Gauss para 5 puntos:
 

||


 
 
= w1 * f(z1) + w2 * f(z2) + w3 * f(z3) + w4 * f(z4) + w5 * f(z5)
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicando el método
 

| |



 
= 2 (0.2369268850 * [ln|2(-0.9061798459) + 5|]
+ 0.4786286705 * [ln |2(-0.5384693101) + 5|]
+ 0.5688888889 * [ln |2(0) + 5|]
+ 0.4786286705 * [ln |2(0.5384693101) + 5|]
+ 0.2369268850 * [ln |2(0.09061798459) + 5|] =
 
=2(0.274664819+ 0.654224278 + 0.915591345 + 0.863685939 +0.390263182)
 
= 2(3.098429563) = 6.196859127
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CUADRATURA DE GAUSS
 
Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como...