Cuadratura de la parabola

Sea ABC un segmento parabólico comprendido entre la recta AC y la sección ABC de un cono rectángulo.

Divídase AC por la mitad en D y trácese DBE paralela al diámetro de la parábola.
Unir B con Ay B con C.

Trácense por A y C AZ paralela a DBE y CZ tangente al segmento parabólico en C.

Prolónguese CB hasta T y sea KT=CK. Sea MQ (( ED.

Puesto que CBA es una parábola y CZ es tangente aella «la subtangente relativa a un punto de la parábola es doble de la abcisa de este punto (EB=BD)».

Como ZKC(MNC(EBC y KAC(NQC(BDC se deduce que: MN=NQ y ZK=KA al ser EB=BD.

Entonces:CA/AQ=MQ/QO, y siendo ACK(QCN se tiene: CA/AQ=K/KN, pero como CK=TK, resulta que TK/KN=MQ/QO.

Puesto que N es el centro de gravedad de MQ, por ser MN=NQ, si tomamos la recta VH=QO de manera que su centrode gravedad sea T, VTH estará en equilibrio con MQ, por estar TN dividida por K en partes que están en razón inversa a los pesos VH y MQ, y ( K es el centro de gravedad del conjunto de ambos pesos.Análogamente si en (AZC se trazan tantas paralelas como se quiera a ED, éstas, estarán en equilibrio con los segmentos determinados sobre ellas por el segmento parabólico y trasladados a T, de maneraque el centro de gravedad de unas y otros será K.

Las rectas trazadas en (AZC «componen» el propio triángulo y los segmentos rectilíneos obtenidos en segmento parabólico del mismo modo que OQ«componen» el segmento parabólico ABC; ( en (AZC, estará en equilibrio, respecto de K, con el segmento parabólico trasladado hasta tener su centro de gravedad en T, de manera que el centro de gravedad delconjunto de ambos será el punto K.

Divídase CK por G tal que CK=3*KG, G será entonces el centro de gravedad de (AZC, y como (AZC está en equilibrio, respecto de K, con el segmento parabólico ABC,trasladado con centro de gravedad en T, y que G es el centro de gravedad de (AZC, se verifica que la razón del (AZC al segmento parabólico ABC colocado alrededor del centro T es igual a la razón de...