Cuadratura

Cuadratura, Métodos Numéricos

UNIVERSIDAD DE GUANAJUATO
División de Ingenierías Campus Irapuato-Salamanca

Métodos Numéricos
Cuadratura

Equipo 1:      Iturriria Contreras Vicente Alejandro Jiménez Monzón Francisco José López Jiménez Aldo Antonio Meza Medina Daniel Vargas Jaramillo José Roberto

Profesor: Manuel Guía Calderón Fecha: 19 de julio del 2010

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Introducción:
Cuadratura:
Se denomina cuadratura del círculo al problema irresoluble de geometría que consiste en hallar, con sólo regla y compás, un cuadrado que posea un área que sea igual a la de un círculo dado. La resolución de este problema trató de abordarse repetidas veces, sin éxito, desde la antigüedad hasta el siglo XIX. Hablando en sentido figurado, se dice de algo quees la "cuadratura del círculo" cuando representa un problema muy difícil o imposible de resolver. La posibilidad de cuadrar superficies limitadas por curvas (superficies curvilíneas) y, en especial la cuadratura del círculo, no habría parecido tan posible a los griegos de no haber sido porque Hipócrates de Quíos demostró que ciertas figuras curvilíneas, construidas por él, llamadas lúnulas, podíancuadrarse. La resolución de la cuadratura de las lúnulas de Hipócrates creó una falsa expectativa entre los matemáticos de la antigüedad de que podría cuadrarse el círculo. En el siglo XX Chebotariov y Dorodnov probaron que todos los tipos de lúnulas no pueden cuadrarse, excepto los tres tipos de lúnulas propuestos por Hipócrates y dos tipos más aportados por Leonhard Euler en el siglo XVIII. Deesta forma quedó de manifiesto que la cuadratura de las lúnulas no era otra cosa que una solución excepcional de un problema irresoluble. En 1882, el matemático alemán Ferdinand Lindemann probó que π es un número trascendente, lo que implica que es imposible cuadrar el círculo usando regla y compás, resolviendo completamente el problema. Las pruebas usuales usan álgebra (teoría de Galois porejemplo) y variable compleja.

Integración numérica:
En el análisis numérico, la integración numérica constituye una amplia gama de algoritmos para calcular el valor numérico de una integral definida y, por extensión, el término se usa a veces para describir algoritmos numéricos para resolver ecuaciones diferenciales. El término cuadratura numérica (a menudo abreviado a cuadratura) es más o menossinónimo de integración numérica, especialmente si se aplica a integrales de una dimensión, a pesar de que para el caso de dos o más dimensiones (integrales múltiples) también se utiliza.

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El problema básico considerado por la integración numérica es calcular una solución aproximada a la integral definida:

Hay varias razones para llevar a cabo la integraciónnumérica. La principal puede ser la imposibilidad de realizar la integración de forma analítica, es decir, hay integrales que requerirían de un gran conocimiento y manejo de matemática avanzada que pueden ser resueltas de una manera más sencilla mediante métodos numéricos. Incluso existen funciones integrables pero cuya primitiva no puede ser evaluada, siendo la integración numérica de vitalimportancia. La solución analítica de una integral nos arrojaría una solución exacta, mientras que la solución numérica nos daría una solución aproximada. El error de la aproximación, que depende del método que se utilice y de qué tan fino sea, puede llegar a ser tan pequeño que es posible obtener un resultado idéntico a la solución analítica en las primeras cifras decimales.

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Desarrollo:
FÓRMULAS DE NEWTON–COTES:
Existen 2 casos en los que se deben emplear métodos aproximados:   Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

Las fórmulas de Newton-Cotes...