Cuadricas
Páginas: 2 (266 palabras)
Publicado: 13 de agosto de 2012
La ecuación cartesiana de una superficie cuádrica es de la forma:
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \,
Ladefinición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.
Por ejemplo, la ecuación:
x^2 +y^2 + z^2 +2xy + 2yz + 2xz = 0 \
es de segundo grado pero, también se puede escribir como:
(x+y+z)^2 = 0 \
que equivale a:
x + y + z = 0\ ,
una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, sedescartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.
A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece detérminos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:
D=0, E=0, F=0
entonces los términos lineales para cada variable:
Gx, Hy,Iz
pueden asimilarse a los cuadráticos:
Ax^2, By^2, Cz^2
mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar laecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, (0,0,0), sino en unpunto de coordenadas implícitas en la nueva forma).
Ecuación normalizada
La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en elorigen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:
\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2} \pm 1 = 0
Tipos de cuádricas
Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dxy + Eyz + Fxz + Gx + Hy + Iz + J = 0 \,
Ladefinición algebraica de las cuádricas tiene el defecto de incluir casos sin interés geométrico y sin vínculo con el tema.
Por ejemplo, la ecuación:
x^2 +y^2 + z^2 +2xy + 2yz + 2xz = 0 \
es de segundo grado pero, también se puede escribir como:
(x+y+z)^2 = 0 \
que equivale a:
x + y + z = 0\ ,
una ecuación de primer grado que corresponde a un plano, superficie que no tiene las propiedades relacionadas con el segundo grado. Generalmente, sedescartan todos los polinomios de segundo grado que son cuadrados.
A menudo, es útil recordar que si la ecuación en su forma cartesiana carece detérminos cruzados, i.e., los coeficientes D, E y F son iguales a cero:
D=0, E=0, F=0
entonces los términos lineales para cada variable:
Gx, Hy,Iz
pueden asimilarse a los cuadráticos:
Ax^2, By^2, Cz^2
mediante el método de completar cuadrados, de modo que sea fácil interpretar laecuación como una de las formas "normalizadas" que se presentan a continuación, pero "descentrada" o "trasladada" (no centrada en el origen, (0,0,0), sino en unpunto de coordenadas implícitas en la nueva forma).
Ecuación normalizada
La ecuación normalizada de una cuádrica tridimensional (D = 3), centrada en elorigen (0, 0, 0) de un espacio tridimensional, es:
\pm {x^2 \over a^2} \pm {y^2 \over b^2} \pm {z^2 \over c^2} \pm 1 = 0
Tipos de cuádricas
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