Cuadricas

C´
onicas
cil´ındros
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Clase : Superficies en el espacio
Calculo II
Profesor. Eduardo Olave

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Repaso

Las c´
onicas o tambi´en llamadas secciones c´
onicas se presentan cuando un
cono se interseca con un plano.

Por el momento nos interesan los lugares geom´etricos de R2 . 2

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CircunferenciaDefinici´on
Sea O un punto del plano y sea r un n´
umero real positivo. Se define la
circunferencia como el conjunto de puntos P (x, y) tal que la distancia de
P a O es igual a r. Es decir:
Circunf enrecia = {P (x, y) : d(P, O) = r}
Al punto O se le denomina centro de la circunferencia y a r se le
denomina radio de la circunferencia.

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Ecuaci´on Can´onica de laCircunferencia
Desarrollo:

De la definici´on se extrae la siguiente ecuaci´
on.
(x − h)2 + (y − k)2 = r2
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Par´abola
Definici´on
Sea l una recta y sea F un punto. La par´abola se define como el
conjunto de puntos P (x, y) tal que su distancia al punto F es igual a su
distancia a la recta l . Es decir:
Par´abola = {P (x, y) : d(P, F ) = d(P, l)}
Al punto F se ledenomina foco de la par´abola y a la recta l se le
denomina directriz de la par´abola.

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Ecuaci´on Can´onica de la Par´abola
Desarrollo:

De la definici´on se extrae la siguiente ecuaci´
on.
x2 = 4py
’

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Ecuaci´on Can´onica de la Par´abola
Teorema
La ecuaci´on de una par´abola de v´ertice en el origen y el eje X,es
y 2 = 4px,
en donde el foco es el punto (p, 0) y la ecuaci´
on de la directriz es
x = −p. Si p > 0, la par´abola se abre hacia la derecha; si p < 0, la
par´abola se abre hacia la izquierda. Si el eje de una par´abola
coincide con el eje Y , y el v´ertice est´a en el origen, su ecuaci´on es
x2 = 4py,
en donde el foco es el punto (0, p), y la ecuaci´
on de la directriz es
y = −p. Si p > 0, lapar´abola se abre hacia arriba; si p < 0, la
par´abola se abre hacia abajo.
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Ecuaci´on Can´onica de la Par´abola
Teorema
La ecuaci´on de una par´abola de v´ertice (h, k) y eje paralelo al eje
X es de la forma:
(y − k)2 = 4p(x − h),
en donde |p| es la longitud del segmento del eje comrpendido entre
el f´oco y el v´ertice. Si p > 0 la par´abola se abre hacia laderecha, si
p < 0 la par´abola se abre hacia la izquierda.
Si el v´ertice es el punto (h, k) y el eje de la par´abola es paralelo al
eje Y , su ecuaci´on es de la forma
(x − h)2 = 4p(y − k)
Si p > 0 la par´abola se abre hacia la arriba, si p < 0 la par´abola se
abre hacia abajo.
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Relaci´on entre la forma can´onica de la par´abola y su forma
cuadr´atica
Sidesarrollamos, por ejemplo, (x − h)2 = 4p(y − k) podemos
obtener la ecuaciaci´on de la forma
y = ax2 + bx + c
Reciprocamente , si tenemos una ecuaci´
on de la forma
2
y = ax + bx + c podemos recuperar la froma anterior
b 2
) = a1 (y +
completanto cuadrado , y as´ı obtener (x + 2a

b2
4a

− c).

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Elipse
Definici´on
Sean F1 y F2 dos puntos del plano y sea auna constante positiva. La
Elipse se define como el conjunto de puntos P (x, y) tales que la suma de
su distancia a F1 con su distancia a F2 es igual a 2a. Es decir:
Elipse = {P (x, y) : d(P, F1 ) + d(P, F2 ) = 2a}
A F1 y F2 se les denomina focos de la elipse y a representa la medida del
semieje mayor de la elipse.

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Ecuaci´on Can´onica de la ElipseDesarrollo:

De la definici´on se extrae la siguiente ecuaci´
on.
(x − h)2 (y − k)2
+
=1
a2
b2
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Ecuaci´on Can´onica de la Elipse
Teorema
La ecuaci´on de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X,
distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es
x2 y 2
+ 2 = 1.
a2
b
Si el eje focal coincide con el eje Y de manera que los focos...