Cuadrilateros

Cuadriláteros

Definición 1: Se llama cuadrilátero a todo polígono de cuatro lados

Definición 2: El segmento que tiene por extremos a dos vértices opuestos recibe el nombre de diagonal.

Definición 3: Un cuadrilátero se llama trapecio se tiene un par de lados paralelos. Estos lados se llaman bases.

Definición 4: Se llama base media de un trapecio al segmento determinado por los puntosmedios de los lados no paralelos.

Definición 5: Un trapecio que tiene un ángulo recto se llama trapecio rectángulo.

Definición 6: Un trapecio cuyos lados no paralelos son iguales se llama trapecio isósceles.

Definición 7: Un trapecio que tiene todos sus lados desiguales se llama trapecio escaleno.

Definición 8: Un cuadrilátero se llama paralelogramo si sus lados opuestos sonparalelos.

Definición 9: La base media con respecto a un par de lados paralelos de un paralelogramo es el segmento que tiene por extremos a los puntos medios de los otros dos lados.

Definición 10: Un paralelogramo con un ángulo recto se llama rectángulo

Definición 11: Un rectángulo que tiene sus cuatro lados congruentes se llama cuadrado.

Definición 12: Un cuadrilátero que tiene todos suslados congruentes se llama rombo.

Definición 13: Un cuadrilátero que no tiene par de lados paralelos se llama trapezoide. Si sus lados son desiguales se llama trapezoide asimétrico

Definición 14: Un cuadrilátero que tiene dos pares de lados consecutivos iguales se llama romboide.

Propiedades de los cuadriláteros
Teorema 1: La suma de los ángulos interiores de un cuadrilátero es 360ºDemostración
Dado un cuadrilátero ABCD como el de la figura 1. Si trazamos una diagonal, sea AC (figura 2), el cuadrilátero queda dividido en dos triángulos. Sabemos que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es 180º.
Por lo tanto tenemos que:
[pic]

Teorema 2: La suma de los ángulos exteriores de un cuadrilátero es igual a 360°.





IMPORTANTE: Teniendo en cuenta lasdefiniciones dadas podemos observar que un rectángulo es un paralelogramo, por lo tanto todas las propiedades de los paralelogramos también se cumplen para el rectángulo. Del mismo modo, un rombo también es paralelogramo por lo que también verifica sus propiedades. Por último, un cuadrado es paralelogramo, rectángulo y rombo, por lo que las propiedades de ellos también las cumplirá el cuadrado.

Elsiguiente gráfico ayudará a visualizar lo mencionado:

1º Grupo: Paralelogramos: Cuadriláteros con dos pares de lados paralelos.



[pic]






2º Grupo: Trapecios: Cuadriláteros con un par de lados paralelos
.[pic] [pic] [pic]



3 º Grupo: Trapezoides: Cuadriláteros que no tiene par de lados paralelos.
[pic][pic]




Propiedades de los paralelogramos
Teorema 1: Si doslados opuestos de un cuadrilátero son iguales y paralelos, el cuadrilátero es un paralelogramo.
Demostración. Si [pic] y [pic] son iguales y paralelos (Figura 3), son homólogos en la traslación [pic]. El segmento que une los puntos homólogos b y c es igual y paralelo al segmento [pic], de modo que los pares de lados opuestos son todos paralelos.

Teorema 2: Si los dos pares de ángulos opuestos deun cuadrilátero son iguales, el cuadrilátero es paralelogramo.

Demostración:
En efecto, la suma de los cuatro ángulos es 360º. Por consiguiente, dos de ellos consecutivos, por ejemplo, [pic] suman la mitad, esto es 180º. Como estos ángulos son conjugados respecto de las rectas que contienen a [pic] y [pic] cortadas por [pic], entonces los lados opuestos [pic] y [pic] son paralelos. Delmismo modo vale para el otro par.
El recíproco de este teorema también se cumple:
Teorema 3: Todo paralelogramo tiene iguales sus ángulos opuestos.

Teorema 4: En todo paralelogramo las diagonales se cortan en su punto medio y este punto es centro de simetría de la figura. Los lados opuestos y los ángulos opuestos son respectivamente congruentes y dos ángulos consecutivos son suplementarios....