Cuadrisecar Un Ángulo Dado

Universidad Distrital Francisco José de Caldas
Facultad de Ciencias y Educación
Proyecto Curricular de L.E.B.E.M
Eje de Problemas y Pensamiento Matemático Avanzado
Espacio de FormaciónExtensiones Numéricas
Docente Alberto Forero Poveda
Estudiante Natalia Andrea Palomá Barrera
Lunes 2 de julio de 2012

PUNTO 5 PARCIAL
1. Para cada uno de los siguientes casos, reconstruir un polinomioque caracterice la situación y a partir de éste muestre la extensión algebraica de Q que le permita establecer si la construcción con regla y compás es posible o no.
a. Cuadrisecar un ángulo dado(Sugerencia: Use Relaciones trigonométricas).
Teniendo en cuenta que se puede multiplicar un ángulo
θ=4α
θ4=α
Cos4(θ)=Cos(θ)+3Cos(θ)
Dada la suma de ángulos
Cos 4θ=Cosθ*Cos3θ-Senθ*Sen3θExpresando el ángulo triple
Cos3θ=Cosθ*Cos2θ
Dada la suma de ángulos
Cos 3θ=Cosθ*Cos2θ-Senθ*Sen2θ
Cos2θ=Cos2θ-Sen2θ
Reemplazando Cos2θ
Cos 3θ=Cosθ*(Cos2θ-Sen2θ)-Senθ*Sen2θ
Sen2θ=2Senθ*CosθReemplazando Sen2θ
Cos 3θ=Cosθ*Cos2θ-Sen2θ-Senθ(2Senθ*Cosθ)
Cos 3θ=Cos3θ-Sen2θ Cosθ-2Sen2θCosθ
Cos 3θ=Cos3θ-3Sen2θ Cosθ
Teniendo en cuenta que
Cos2θ+Sen2θ=1
Cos 3θ=Cos3θ-3Cosθ(1-Cos2θ)
Cos3θ=Cos3θ-3Cosθ+3Cos3θ
Cos 3θ=4Cos3θ-3Cosθ
Haciendo un procedimiento análogo para

Sen 3θ=Cosθ*Sen2θ+Cos 2θ*Senθ
Se obtiene
Sen 3θ=3Senθ-4Sen3θ
Por tanto al reemplazar en

Cos4θ=Cosθ+3Cosθ
Seobtiene que
Cos 4θ=Cosθ*Cos3θ-Senθ*Sen3θ
Reemplazando Cos3θ y Sen3θ
Cos 4θ=Cosθ*(4Cos3θ-3Cosθ)-Senθ(3Senθ-4Sen3θ)
Cos 4θ=4Cos4θ+4Sen4θ-3Cos3θ-3Sen2θ
Cos 4θ=4Cos4θ+4Sen4θ-3Cos3θ+Sen2θ
ComoCos2θ+Sen2θ=1
Cos 4θ=4Cos4θ+4Sen4θ-31
Cos 4θ=4Cos4θ+4Sen4θ-3
Cos 4θ=4(Cos4θ+Sen4θ)-3
Cos 4θ=4(Cos4θ+(Sen2θ*Sen2θ)-3
Cos 4θ=4(Cos4θ+(1-Cos2θ)2-3
Desarrollando el producto notable
Cos4θ=4(Cos4θ+1-2Cos2θ+Cos4θ)-3
Cos 4θ=4(2Cos4θ-2Cos2θ+1)-3
Cos 4θ=8Cos4θ-8Cos2θ+4-3
Cos 4(θ)=8Cos4(θ)-8Cos2(θ)+1
Si se tiene que Cosθ=x
El polinomio asociado a la cuadrisección del ángulo es:
Cos 4(θ)=8x4-8x2+1...