cuadro comparitivo

Transformada de una derivada. Si f tiene transformada de Laplace F, entonces
su derivada f$ tiene transformada de Laplace y vale sF(s) − f(0−). En efecto,
integrando por partes u = e−st, dv = f$(t) dt, se obtiene
L(f$
(t)) = ! ∞
0
f$
(t) e−st dt = e−st f(t)
"
"
"
(∞)
0− + s
! (∞)
0

f(t) e−st dt = −f(0−) + sF(s),


Donde se ha tenido en cuenta que limt→∞ e−st f(t) = 0 yaque f tiene transformada de Laplace, y donde se ha utilizado la regla 0 ≡ 0−, para el caso en que f tenga una discontinuidad en t = 0.


: Demostrar por inducción que la transformada de Laplace dela
derivada n-ésima de f es



L(f(n)
(t)) = snF(s) − [sn−1f(0−) + sn−2f$(0−) + · · · + sf(n−2)(0−) + f(n−1)(0−)].





1.4: Si la integral que define la transformada de Laplace de unaFunción es absolutamente convergente para un cierto valor s = γ entonces también
Es convergente para todos en el intervalo (γ, ∞).
Demostración. Si s > γ, entonces e−st ≤ e−γt

, para todo t ≥ 0, dedonde
! ∞
0
|f(t) e−st | dt ≤
! ∞
0
|f(t) e−γt | dt.
Como la integral de la derecha converge, la integral de la izquierda también. !
Nótese que hay funciones para las que el campo deconvergencia de la integral
Es vacío.
Por ejemplo,
si f(t) = et2
Entonces la integral % ∞
0 et2−st es divergente
Cualquiera que sea el valor de s ∈ R.
Una clase de funciones interesantes para nuestrospropósitos es la de las funciones
De orden exponencial.
Transformada de una integral. De la regla anterior se deduce que la transformada de Laplace de la integra l
% t
0 f(τ ) dτ (la primitivade f que se anula en t = 0 es F(s)/s.
En efecto, denotando por g(t) a la integral anterior, se tiene que g$
(t) = f(t) y
g(0) = 0, de donde

F(s) = L(f(t)) = L(g$ (t)) = sL(g(t)) − g(0) =sL(g(t)).

UNICRECE

MATERIA:
Series y transformadas

TEMA: transformadas de integrales, derivadas y métodos delos operadores (ecuaciones diferenciales)

ALUMNO:
MICHAEL ESTUARDO...