cuadro

Método de los cilindros.
 
Primer caso: Cuando el eje de giro está adyacente al área que se va a hacer girar.
 Consideremos un rectángulo de altura r, anchura  y hagámosla girar alrededor de uneje de revolución, tal como  lo indica la figura:

 
Puede observarse que al hacer girar repetidas veces el rectángulo alrededor del eje de revolución se genera un cilindro cuyo volumen es:
                                                             
 
Tomemos ahora una superficie plana y un eje de giro adyacente a ella, tal como lo muestra la figura anterior, dicha superficie plana estáformada por n rectángulos cuya base es  y altura  , entonces al hacer girar la superficie alrededor del eje de revolución, se verá que cada uno de ellos forma un cilindro cuyo volumen será:                                                            
 
Y el volumen del sólido cuando   será:
 
                         
                                                                                                  
 
Cuando el eje de giro  es horizontal.
 
De  manera análoga, si el eje de revolución es vertical, entonces:
 
            
Ejemplo 1:
 
Hallar el volumen generado al hacer girar alrededordel eje  la superficie plana formada por  ;  ;  .
 

Solución:
 
El rectángulo representativo de la superficie plana que servirá de muestra para encontrar el volumen buscado siempre esperpendicular al eje de giro, así que el volumen de este rectángulo representativo, que denotaremos por  estará dado por:

                                    
 
Y la suma de los volúmenes de todos loscilindros que se obtienen al hacer girar todos los rectángulos representativos desde  hasta :
 
 

 
 

 
 

 
 
Ejemplo 2:
 
Calcula el volumen del sólido generado al girar alrededor deleje  la superficie limitada por  ;  .
 
Solución:
 
Empezaremos por hacer la gráfica del problema y trazar un rectángulo representativo perpendicular  al eje de giro.
En...