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UNIDAD III: DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Una variable aleatoria es continua cuando puede tomar cualquier valor en un intervalo específico
de valores. Por ejemplo; el peso de una persona, el tiempo de duración de una determinada
enfermedad, etc.
FUNCIÓN DENSIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
La probabilidad cuando estamos trabajando con variables
aleatorias continuas es una medida dadapor una integral
definida, es decir es una medida representada por un área.

fx

Este gráfico, representa la distribución de probabilidad o
función densidad, de una variable aleatoria X continua, el área
debajo de la curva limitada por x=a y x=b es igual a la
probabilidad de que la variable aleatoria X tome un valor entre
x=a y x=b.
a

b

X

PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN DE DENSIDAD1) f X ( x )  0


2)  f  x   1 (Significa que el área total es igual a 1)


OBSERVACIONES
La probabilidad de que la variable aleatoria continua tome exactamente cualquiera de sus valores
es igual a cero.
Por ejemplo: consideremos la variable aleatoria cuyos valores son las alturas de todas las personas
mayores de 21 años de edad. Entre dos valores cualesquiera, tomemos 164,9 y165,1 cm hay
infinitos valores de alturas.
Tratamos ahora con intervalos en lugar de valores.
En general debemos resaltar que en el caso de una función de densidad de probabilidad el área
total debajo de la curva debe sumar uno.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
Un problema frecuente en el campo biológico y más específicamente en el campo médico, es poder
saber si un individuo está sano o enfermo, si esnormal o se aparta de la normalidad. Para llegar a
una decisión generalmente se miden algunas características del individuo y , si los valores
encontrados son los habituales en personas sanas se le considera como tal, considerándolo como
enfermo o anormal en caso contrario. Así por ejemplo, consideramos normal que un adulto tuviera
presión arterial sistólica de 130 mm Hg y anormal que tuvierauna presión de 210 mm de Hg
porque este último valor es raro de encontrar en adultos sanos.

Para establecer los límites entre lo habitual y lo raro, es necesario conocer la distribución de la
variable en estudio, en individuos normales.
La distribución normal o distribución de Gauss puede considerarse como modelo adecuado para la
distribución de un gran número de variables en el campobiológico.
Definición:
Una variable aleatoria tiene distribución normal si su distribución está dada por la función
densidad
2

f x 

1

 2.

e

1 x  
 
2  


para -  x  

Siendo μ la media y σ la desviación estándar.
La distribución normal depende de dos parámetros que definen por completo la curva normal: μ y

2
Para escribir simbólicamente que una variablealeatoria X se distribuye normalmente con media μ
y varianza  2 , lo hacemos de la siguiente manera:

X



N  , 2



Característica de la distribución normal
X es una variable aleatoria continua
Es simétrica respecto de su media
Tiene un máximo en x=μ.
E(X)=μ
La mediana, la moda y la media aritmética coinciden.

Áreas bajo la curva la curva normal
En una distribuciónprobabilística normal:


Aproximadamente el 68 % del área bajo la curva normal se encuentra en el intervalo



Aproximadamente el 95 % del área bajo la curva normal se encuentra en el intervalo



Aproximadamente el 99.73 % del área bajo la curva normal se encuentra en el intervalo

(  ,  )

(  2,  2)

( 3,  3 )

En el gráfico observamos:

Escala X
-3

-2-1

+1

+2

+3

68.27%
95.45%
99.73%
Podemos decir que, el área dentro de tres desviaciones estándares respecto de la media es
aproximadamente 0.9973
Observaciones:
El área total debajo de la curva y sobre el eje de las X es igual a 1. Esto se deduce del hecho que
la distribución normal es un distribución de probabilidad.
El 50% de área está a la izquierda de la media y el...