Cuantificación Optima

Dada la siguiente función, encontrar el nivel óptimo de cuantificación x, si se tienen niveles de cuantificación en 0 y 1.

ft=abt 0<t<bt-b1-a1-b+ab<t<1

fqt=0 0<t<t1X t1<t<t21 t2<t<1

Pq=0t1-ft2dt+t1t2x-ft2dt+t111-ft2dt

Los niveles de decisión se encuentran en:

Nd1=x2Nd2=x+12

De acuerdo a los niveles de decisión se tienen 3 casos descritos a continuación:

Caso 1 Nd1<a y Nd2<a

Los tiempos correspondientes a este caso son:

t1x=x2bat2x=x+12ba

Pq=0t1x-abt2ⅆt+t1xt2xx-abt2ⅆt+t2xb1-abt2ⅆt+b11-(t-b)(1-a)1-b+a2ⅆt

Pq= -13(-1+a)2(-1+b)+b-ab+a2b3-t2+at2x2b+at1x2xb-at2x2xb-t1x2+t2xxPq=-(-2+a)b2+3a(-t22(-1+x)+t12x)+b(1-2a+a2-3t1x2+3t2(-1+x2))3b

Sustituyendo t1x y t2x

Pq=(2-a)b2+3a(b2x34a2-b2(-1+x)(1+x)24a2)+b(1-2a+a2-3bx32a+3b(1+x)(-1+x2)2a)3b

Pq=4a3-4a2(2+b)+a(4+8b)+3b(-1-x+x2)12a

Derivamos para obtener lospuntos críticos:

dPqdx=ddx4a3-4a2(2+b)+a(4+8b)+3b(-1-x+x2)12a

Pq'=b(-1+2x)4a

{x→12}

Obtenemos la segunda derivada para evaluar en los puntos críticos:

Si f''x0>0, en x0 hay unmínimo local
Si f''x0<0, en x0 hay un máximo local

dP'qdx=ddxb(-1+2x)4a
Pq''=b2a

Ya que se trata de una constante que depende de a y b y estas siempre son positivas el valor que encontramospara x es un mínimo.

Caso 2 Nd1<a y Nd2>a

Los tiempos correspondientes a este caso son:

t1x=x2ba
t2x=x+12-a1-b1-a+bPq=0t1x-abt2ⅆt+t1xbx-abt2ⅆt+bt2xx-(t-b)(1-a)1-b+a2ⅆt+a11-(t-b)(1-a)1-b+a2ⅆt

Pq=a2b3-(-1+a)2(-1+t2)33(-1+b)2-abx+at12xb+bx2-t1x2+-(-1+b)3(a-x)3+(b+a(-1+t2)-t2+x-bx)33(-1+a)(-1+b)2Pq=13(a2b-(-1+a)2(-1+t2)3(-1+b)2-3abx+3at12xb+3bx2-3t1x2+-(-1+b)3(a-x)3+(b+a(-1+t2)-t2+x-bx)3(-1+a)(-1+b)2)

Sustituyendo t1x y t2x
Pq=4a4+3bx3+12a2x(b+x)-4a3(b+3x)+a(-1+b+3x-3bx-3x2-9bx2-3x3)12(-1+a)a

Derivamos para obtener los puntos críticos:...