Cuantificadores Y Conjuntos

Gu´ 6
ıa
Cuantificadores y Conjuntos
1. Dados A = {1, 0, −2, − 1 } y B = {−2, 2, 1}. Determinar el valor de verdad de cada una
2
de las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)

(∃!y ∈ A)(∀x ∈ B )(x + y ≥ −1)
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B )(x + y = 1)
(∀x ∈ A)(∃y ∈ B )(xy + 1 < 0 ∨ x2 − y 2 = 0)
(∀x ∈ B )(∃y ∈ A)(xy ≥ 0 ⇒ (x + y ) ∈ A)

2. Determine cuales de las siguientes afirmaciones sonverdaderas y cuales son falsas,
justifique su respuesta.
a ) ∀n, m ∈ N : n · m es par ⇔ (n es par ) ∧ (m es par )
y
b ) ∀x, y ∈ R+ : x = y ⇔ x + x > 2
y
c ) ∀x, y ∈ R : x < y ⇔ x+y > x
2
d ) ∀n ∈ N : n m´ltiplo de 7 ⇒ n2 + 2n − 14 m´ltiplo de 7.
u
u
3. Indique el valor de verdad de las proposiciones cuantificadas siguientes, neg´ndolas
a
posteriormente:
√
a ) (∀z ∈ Z)( z 2 = z )
b ) (∃x ∈N)((x2 + 2)2 = x2 + 22 )
c ) (∀x ∈ A)(∃y ∈ A )( x2 + y 2 ≤ 25); donde A = {1, 2, 3, 4, 5}
4. Negar las siguientes proposiciones:
a)
b)
c)
d)

(∃x ∈ R)(∀y
(∀x ∈ R)(∀y
(∃x ∈ R)(∀y
(∀x ∈ R)(∃y

∈ R)/
∈ R)/
∈ R)/
∈ R)/

x1∧y ≤1
2x + y = 4

1
1
5. Considere el conjunto A = {−1, − 2 , 0, 2 , 1}. Diga si las siguientes proposiciones son
verdaderas o falsas (justifique):
p : (∀x, y ∈A)(x + y ≤ 1)
q : (∀x ∈ A)(∃y ∈ A)(x2 ≤ y )
Escriba la negaci´n de las proposiciones anteriores.
o

6. Dados los conjuntos U = {x ∈ Z/ − 2 < x−3 < 2}, A = {−3, −1, 0, 4, 8},
4
B={-4,-1,0,1,6,7,10} y C = {−2, −3, −4, 0, 5, 7, 8, 9}, determine:
d ) (A ∩ C )c ∩ B c .

a ) (A − B ).
b ) (A ∩ B ) ∪ C .
c

c

c ) (B ∪ C ) − (A ∪ B ).

e ) (B − C ) ∪ (A − B ).
f ) (C − B ) − A.

7.Utilizando lo conjuntos de la pregunta 6 verifique las siguientes igualdades, justifique
su respuesta.
a)
b)
c)
d)

(A ∪ B c ) ∩ B = A ∩ B .
(A ∩ B ) ∪ (A ∩ B c ) = A.
(Ac ∪ B )c ∪ (Ac ∪ B c )c = A.
A ∪ B = B ∪ (A − B ).

e ) B ∩ (A − B ) = ∅.
f ) (A − B ) ∩ (A ∩ B ) = ∅.
g ) (A ∩ B ) ∪ (B ∩ C )c = A ∪ B c .

8. Se sabe que card(B − A) = 8, card(A ∩ B ) = 2, card(Ac ∩ B c ) = 6 ycard(A ∩ B c ) = 9.
Elaborar un diagrama de Venn que represente la situaci´n y determine la cardinalidad
o
de los conjuntos A y B .
9. Si se tiene que card(A) = 33, card(Ac ∩ B c ) = 6, card(Ac ) = 16 y card(Ac ∪ B )c = 18,
determine la cardinalidad de los conjuntos U , B y (B − A).
10. Representar con diagramas las siguientes operaciones de conjuntos:
a ) (A ∪ B ) ∩ C .
b ) (A ∩ B )c ∪ C .c ) (A ∪ B ) − (A ∪ C )c .
d ) A ∪ (B − C ).
e) A ∩ B ∩ C.
f ) Ac ∪ (B ∩ C ).
g ) A − (B ∪ C ).
h ) (A ∪ B ) − C .
i ) Ac ∩ B c ∩ C c .
11. Una encuesta realizada a 410 personas sobre su preferencia entre tres bebidas arroj´ el
o
siguiente resultado; 230 toman coca cola, 195 fanta, 215 sprite, 95 coca cola y sprite,
105 sprite y fanta, 100 fanta y coca cola y 30 no toman ninguna deestas tres bebidas,
determine cuantas personas tom´n:
a
a ) S´lo coca cola.
o
b ) S´lo coca cola y sprite.
o
c ) Fanta, pero no sprite.

d ) S´lo fanta o sprite.
o
e ) Ni fanta ni coca cola.
f ) A lo m´s una de estas bebidas.
a
g ) A lo menos dos de estas bebidas.
12. El ultimo reporte sobre los mejores 16 restaurantes de Santiago indica que 11 sirven
´
desayuno, 11 sirven cerveza y10 sirven almuerzo y cena. Los 16 ofrecen alguno de los
tres servicios. Un total de 5 se catalogan como ”familiares”que quiere decir que sirven
desayuno pero no alcohol. Un total de 5 sirven desayuno y tienen servicio de cena a la
carta. Por otro lado ninguno sirve desayuno, cerveza y tiene adem´s servicio de cena a
a
la carta. Conteste las siguientes preguntas sobre estos restaurantes:
a )¿Cu´ntos sirven desayuno y cerveza?.
a
b ) ¿Cu´ntos sirven cerveza pero no desayuno?.
a
c ) ¿Cu´ntos sirven cerveza pero no sirven ni desayuno ni cena a la carta?.
a
d ) ¿Cu´ntos sirven cerveza y cena a la carta?.
a
13. En los tests cl´
ınicos de una nueva crema solar 100 sujetos experimentaron quemaduras
de tercer grado o nausea. De estos, 35 sufrieron quemaduras de tercer grado y 25...