Cuantificadores

Matemáticas discretas

UNIDAD 1 LOGICA MATEMATICA

1.3 Cuantificadores
Logica de predicados
“Esta lógica nos permite hacer afirmaciones con respecto a relaciones entre objetos o sus propiedades que
satisfacen elementos de un determinado universo”.
Los objetos pueden ser personas, objetos físicos, o conceptos, tales relaciones o propiedades, se denominan
predicados, los objetos se conocencomo argumentos o términos del predicado.
Anteriormente analizamos cuando las expresiones pueden ser aceptadas como proposiciones en base a una
serie de características que se deben cumplir, y dejemos en claro que es posible encontrarnos expresiones que a
pesar de que aseveran algo no pueden ser establecidas como verdaderas o falsas, expresiones que involucran
variables tales como:
· “x > 3”· “ x = y + 3”
Son expresiones que encontradas frecuentemente en declaraciones matemáticas y programas computacionales,
pero como los valores de sus variables no son especificados, no podemos catalogarlas como verdaderas o falsas.
De igual forma debemos tener en claro que una proposición atómica se compone de sujeto y predicado, tal y
como nos enseñaron en la primaria, por lo tanto al decir“x > 3” nos encontramos en un caso de ambigüedad ya
que “x” puede ser cualquier valor y por lo tanto no conocemos al sujeto del que se habla en la expresión.
A pesar de lo anterior el hecho es que para “x > 3” la expresión tiene 2 partes:
1. La variable x es el sujeto de la expresión.
2. El operador “>3” es el predicado (propiedad que el sujeto de la expresión puede tener).
Por tal motivo aeste tipo de expresiones se les llama “cuasi-proposiciones” cumplen con las partes de una
proposición pero sin llegar a serlo por no estar claramente definidas.

Función proposicional
“Una función proposicional es una expresión que contiene una o más de una variable que al ser sustituidas por
elementos del universo (U) dan origen a una proposición”.
La función proposicional no es unaproposición, por lo tanto, no se puede decir nada acerca de su valor de
verdad.
Para las expresiones del tipo “x > 3” el valor verdadero o falso está determinado por los valores de la variable,
en este ejemplo “x”, por lo tanto se dice que el valor del predicado está en función de la variable.
Una función proposicional se simboliza mediante letras mayúsculas P, Q, R, S…, etc.
Ejemplo:
P(x) =” x > 3”La expresión P(x) es el valor de la función proposicional P en x.

Para
P(4) = verdadero
P(2) = falso
Una vez que un valor le es asignado a la variable x, la expresión P(x) se convierte en una proposición y tiene su
valor de verdad.
Aurelio López Ovando

LOGICA MATEMATICA

Unidad 1

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Matemáticas discretas

En general una expresión puede involucrar “n” variables x1, x2, .....xn, puede ser denotado por P(x1, x2, ..... xn).
Una expresión de la forma P(x1, x2, .... xn) es el valor de la función proposicional P en la n-tupla (x1, x2, ..... xn) y
P es también llamado un predicado.
Ejemplo:
P(x)=”x = y + 3”
P(x,y)
La función proposicional P(4,6) es falsa.

Cuasi-proposición
“Es un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica que debe ejemplificarseo cuantificarse
para que sea una proposición”.
Cuantificarse se refiere a decir a cuántos individuos que integran el universo es aplicable, y ejemplificar, se
refiere a enunciar el sujeto de la expresión”.
Se cuantifica una cuasi-proposición para categorizar cualidades y generalizar o particularizarla, de tal manera
que hablamos de unos elementos que cumplen una cierta característica.Ejemplo:
Tenemos la expresión P(x)=“Los x son seres vivos, que nacen, crecen, se reproducen y mueren”
Donde:
Ejemplificamos
x “Son Hombres (Del universo humanos)”.
Ahora generalizamos (cuantificamos) y no puede quedar:
“Todos los hombres son seres vivos que nacen, crecen, se reproducen y mueren”.
“Algunos hombres son seres vivos que naces, crecen, se reproducen y mueren”.

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