Cuantificadores

Cuantificadores
A partir de una función proposicional, se puede obtener una proposición anteponiendo un cuantificador. Los cuantificadores más usados son el cuantificador universal y el cuantificadorexistencial.
Definición: Cuantificador Universal. Se denota por el símbolo ∀. Sea A un conjunto y p(x) una
función proposicional en el conjunto A. La proposición ∀x ∈ A : p(x), se traduce al lenguajenatural
como: “Para todo x en el conjunto A se verifica p(x)”. Esta proposicón es verdadera si todos los elementos del conjunto A hacen que p(x) sea verdadera, o dicho de otra forma, verifican laproposicón p.
Por ejemplo, p(x) : “x es positivo”, la proposicón ∀x ∈ R : p(x) se traduce al lenguaje natural
como “para todo número real x se tiene que x es positivo”. La que es claramente falsa porque-1 es
un número real que no es positivo.
Definición: Cuantificador Existencial. Se denota por el símbolo ∃. Sea A un conjunto y p(x) una
función proposicional en el conjunto A. La proposición ∃x ∈ A :p(x), se traduce al lenguaje natural
como: “Existe un elemento x en el conjunto A que verifica p(x)”. Esta proposicón es verdadera si al
menos un elemento del conjunto A verifica la proposicón p.
Porejemplo, p(x) : “x es positivo”, la proposicón ∃x ∈ R : p(x) se traduce al lenguaje natural
como “existe número real x se tiene que x es positivo”. La que es claramente verdadera porque 5 es
unnúmero real positivo.
La negacón de la proposición ∀x ∈ A : p(x), se denota ¬(∀x ∈ A : p(x)) y es equivalente a
∃x ∈ A : ¬p(x), esto es, existe un elemento del conjunto A que no verifica la proposiciónp(x).
La negacón de la proposición ∃x ∈ A : p(x), se denota ¬(∃x ∈ A : p(x)) y es equivalente a
∀x ∈ A : ¬p(x), esto es, para todo elemento del conjunto A no se verifica la proposición p(x).

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2Ejemplo: Sean A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} y B = {−1, −2, 4, 5, 6, 9, 10}. Determinemos el valor de
verdad de la proposición
∀x ∈ (B − A), ∃y ∈ (A − B) tal que 2x + y ≤ 7
Solución:
Se tiene que B − A =...