Cuantificadores

Republica Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educacion universitaria
Universidad Politecnica Territorial Aristides Bastidas
Indepencia – Edo-Yaracuy.









LÒGICA CUANTIFICACIONAL









Alumna: Orlanys Leal exp:31819
Seccion:501



Independencia 21, de mayo del 2015
Cuantificadores Universales y Existenciales

Cuantificadores: En lógica, teoría de conjuntos ymatemáticas en general,los cuantificadores son símbolos utilizados para indicar cuántos elementos de un conjunto dado cumplen con cierta propiedad.

Cuantificadores Existenciales: La cuantificación existencial de P(x) “Es la proposición en que existe un elemento x en el universo de discurso tal que P(x) es verdad”.

Se denota con el símbolo ∃ x y se lee de las siguientes maneras: “hay un x talque…)”, “hay al menos un x tal que..." o "para algún x...".

Ejemplo:

Sea A= {1,2,3,4,5} Determine el valor de verdad de cada uno de los enunciados siguientes:

a) (∃ x ∈ A)(x+3=10)
sol: es falso porque ningún número de A es una solución de x+3=10.

b) (∀ x ∈ A)(x+3<10)
sol: es Verdadero. cualquier número de A cumple que x+3<10

Cuantificadores Universales: Indican que algo es cierto para todos losindividuos.
Sea A una expresión y sea x una variable. Si deseamos indicar que A es verdadero para todos los posibles valores de x, escribiremos (∀x) A.

Ejemplos:
Todos los humanos respiran
(∀ x) (H(x) → R(x)) donde el predicado H significa humanos, R respiran y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

Todos los alumnos son estudiosos
(∀x) (A(x) → E(x)) donde el predicado A significa alumno, E estudioso y x es un elemento de un dominio general que podría ser el de las personas o cualquier subconjunto deseado.

Representación de cada cuantificador

Cuantificador Universal (∀)
Cuantificador Existencial (∃)


Negación de los Cuantificadores
Negación de los cuantificadores“La negación del cuantificador universal es equivalente a laafirmación de cuantificador existencial, respecto dela proposición negada; y viceversa”.
Tanto las proposiciones universales como las existenciales posee su negativa respectiva, y se simboliza negandola segunda proposición (el consecuente en el caso del condicional).
Ejemplo: 1. Formalizar la expresión “No todos son alumnos".
Sea P(x)=”x es alumno”
Donde x= “personas del universo ITESCAM”.
∴ ¬x(Px).
Si lo miramos desde otra perspectiva podemos afirmar que “No todas las personas del ITESCAM son alumnos” es equivalente a afirmar que “Existe al menos una persona del ITESCAM que no es alumno” la cual expresaríamos de la siguiente manera: x P(¬x)
Es decir que ¬ x(Px) Ξ x P(¬x)
Formalizar la expresión "Ninguno es alumno".
Sea P(x)=”x es alumno”.
Donde x= “personas del universoITESCAM”.
∴ ¬ x P(x)
Que al igual que el caso anterior, podemos verlo desde otra perspectiva y afirmar que “Todos las personas del ITESCAM no son alumnos” expresándola de la siguiente manera: x(¬P(x)).
Es decir que: ¬ x P(x) Ξ x(¬P(x))

Aplicación de las leyes basicas de logica cuantificacional para demostrar su validez

1. Principales Leyes Lógicas
Para la simplificación de fórmulas del cálculoproposicional, son de suma utilidad las equivalencias o leyes lógicas. Su demostración se reduce a la confección de las correspondientes tablas de verdad (el resultado final de las mismas, siempre muestra una tautología).
En la elaboración de las siguientes leyes, se ha supuesto que p, q y r son proposiciones que pueden asumir cualquier valor de verdad; mientras que V es una proposición verdadera y Fes una proposición falsa.
1. Involución o doble negación: ∼( ∼ p ) ⇔ p 2.
2. Idempotencia:
• De la conjunción: p ∧ p ⇔ p
• De la disyunción: p ∨ p ⇔ p
3. Elemento neutro:
• De la conjunción: p ∧ V ⇔ p
• De la disyunción: p ∨ F⇔ p
4. Condición de tautología: p ∨ V ⇔ V
5. Condición de antitautología: p ∧ F ⇔ F
6. Negación de tautología: ∼V ⇔ F
7. Negación de antitautología: ∼F ⇔ V...