Cuantizacion

5ºCurso-Tratamiento Digital de Señal

Muestreo y Cuantización

Ì
Ì

17/11/99

Muestreo y Cuantización de señales
Convertidores Analógico-Digital

Capítulo 5: Muestreo y Cuantización

1

5ºCurso-Tratamiento Digital de Señal

Muestreo
Ì

Ì

Ì

El muestreo digital de una señal analógica trae consigo una
discretización tanto en el dominio temporal como en el de laamplitud.
Hay varias formas de describir matemáticamente el proceso de
discretización temporal de una señal continua en el tiempo.
Nos centraremos en el muestreador ideal, que consiste en una
función que toma los valores de la señal xC(t) en los instantes
muestreos y el valor cero para el resto de puntos
x ( t ) = x ( t ) ∑ δ ( t − nt ) = ∑ x (nt )δ ( t − nt ) = x ( t ) ⋅ x ( t )
∞

S

x

ÌC

n = −∞

∞

s

n = −∞

C

s

s

C

I

donde ts es el periodo de muestreo y xI(t) es la función de interpolación.

El muestreo trae consigo una aparente pérdida de información en
la señal xC(t). El Teorema del Muestreo establece en que
condiciones se puede muestrear sin pérdida de información.

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Capítulo 5: Muestreo y Cuantización

25ºCurso-Tratamiento Digital de Señal

Muestreo
Ì

Ì

Teorema del muestreo: Una señal xc(t) con un espectro limi-tado a la
frecuencia fB (|f|≤ fB) puede ser muestreada sin pérdida de información si la
frecuencia de muestreo fS supera la cantidad 2fB , es decir fS ≥ 2fB.
Si no se muestrea como mínimo a esa frecuencia tiene lugar el fenómeno
denominado “aliasing”.
∞

xS (t ) = xC (t ) ∑ δ (t − nt s ) = xC(t )⋅ xI (t )
n = −∞

X S ( f ) = X C ( f )∗ X I ( f )
xI (t ) =

∞

∞

∑ δ (t − k ⋅ t ) = ∑ C

k = −∞

s

k = −∞

k

⋅ e j 2πk t t s

1 ts 2
1
1
Ck = ∫ δ (t )⋅ e − j 2π t t s ⋅ dt = ⇒ X I ( f ) =
t s −t s 2
ts
ts
∞

1
X S ( f ) = ∫ X I ( f )⋅ X C ( f − ξ )⋅ dξ =
−∞
ts

∞

∞

∑δ ( f − k t )
s

k = −∞

∞

∑ ∫ δ ( f − k t )⋅ X ( f − ξ )⋅ dξ

k = −∞−∞

s

C

1 ∞
= ∑ X C ( f − k ts )
t s k =−∞
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Capítulo 5: Muestreo y Cuantización

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5ºCurso-Tratamiento Digital de Señal

Muestreo
Es decir, el espectro de la señal muestreada se compone de una función
periódica de periodo 1/ts , replicándose en cada periodo el espectro de la
señal original. Se observa en la figura el porqué del teorema del muestreo.
Espectro dela señal x c (t)

fB

f

fB

Espectro de la señal muestreada x s (t)

H PB

f
fs

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-f B

fB

fs

Capítulo 5: Muestreo y Cuantización

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5ºCurso-Tratamiento Digital de Señal

Muestreo
Ì

Para recuperar la señal original a partir de la muestrada no
tenemos más que aplicar un filtro pasobajo con una frecuencia
de corte en f=fB y una amplificación ts, esdecir,
X C ( f ) = X S ( f ) H PB ( f ) → xC (t ) = xS (t ) ∗ hPB (t )
 f 
H PB ( f ) = t s rect 
 2 f  → hPB (t ) = t s ⋅ 2 ⋅ f B ⋅ sinc(t ⋅ 2 ⋅ f B )

 B
xS (t ) =
xC (t ) =

∞

∑x

k = −∞

C

(kt s )δ (t − kt s ) =

∞

∑ x [k ]h

k = −∞

C

PB

∞

∑ x [k ]δ (t − kt )

k = −∞

C

(t − kt s ) = 2 ⋅ t s ⋅ f B ⋅

s

∞

∑ x [k ]⋅ sinc[2 f (t − kt )]k = −∞

C

B

s

A la función sinc(t) se le denomina función de interpolación cardinal.

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Capítulo 5: Muestreo y Cuantización

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5ºCurso-Tratamiento Digital de Señal

Muestreo
Ì

Este tipo de reconstrucción de la señal original presenta varios
problemas:
x
x
x

x

Ì

El dominio de la función sinc(t) es infinito.
Requiere muestreos pasados y futuros.Existe la posibilidad de truncar la función sinc(t), pero da lugar al
efecto Gibbs y además requeriría muchos puntos.
No pueden reconstruir funciones con discontinuidades.

Existen muchas funciones de interpolación. La elección debe
hacerse en función de su estabilidad y de su realización física.
Veremos algunas realizaciones basadas en Transformadas
(FFT) y otras basadas en filtros FIR...