Cuarta proporcional, tercera proporcional y teorema de euclides

La Cuarta Proporcionalidad Geométrica
En una proporción se denomina cuarta proporcional a cada uno de los términos respecto a los otros tres, por ejemplo, en la proporción.

 Es la cuarta proporcional con respecto a

En la cuarta proporcionalidad no se repite ningún término y va a depende de la Proporción que se establezca entre las cantidades, pudiendo incluso haber hasta tres valores.Ejemplo:
Los tres primeros términos de una proporción son 84,35 y 48. Calcular la cuarta proporcionalidad geométrica

SOLUCIÓN 1 | SOLUCIÓN 2 | SOLUCIÓN 3 |
X = 35
84 48

48X = 2940

X = 2940
48

X = 61.25 | X = 48
35 84

84X = 1680

X = 1680
84

X = 20 | X = 84 48 3535X = 4032

X = 4032
84

X = 115.2 |
* Proporción: muestra los tamaños relativos entre 2 o mas valores.
* Termino: Cada una de las partes ligadas entre sí por el signo de la suma o la resta en la expresión analítica.
* Segmento: es la porción de recta limitada por dos puntos, llamados extremos

* Construcción de la Cuarta Proporcionalidad GeométricaTenemos 4 segmentos, AB, EF, CD y GH. En donde AB, es la cuarta proporcional de EF, CD y GH. EF es la cuarta proporcional de AB, CD y GH y así sucesivamente.
Siendo así, tenemos que:

Encontrar la cuarta proporcional de los segmentos:

Esto significa encontrar un segmento X, de tal manera que permita que se cumpla la proporción

A continuación se demuestra el procedimiento paso a paso1.- Traza un ángulo agudo, cualquiera.
2.- Desde el vértice del ángulo, en uno de sus lados, se trazan dos segmentos adyacentes, congruentes con AB Y CD, en el otro lado se traza un segmento congruente con EF
3.- Traza el segmento FB y una paralela a él, que pase por el punto D, sea H el punto de intersección.

El segmento resultante HD es la cuartaproporcional de los segmentos AB, CD Y EF


Ejercicios de la Cuarta Proporcionalidad Geométrica

a) Primera Forma: x5 = 713X * 13 = 5 * 7 13x = 35 x = 3513 x = 2,69 | a) Segunda Forma: x+16 = 101515 * (x+1) = 6 * 1015x + 15 = 6015x = 60 – 1515x = 45x = 4515x = 3 |
a) Tercera Forma: x-13 = x+25 5 * (x-1) = 3* (x+2)5x – 5 = 3x + 65x – 3x = 6 + 52x = 11x = 112x = 5,5 | a) Cuarta Forma: x2 x-2 = x+21x2 * 1 = (x-2) * (x+2)x2 = (x-2)2x2 = x2 - 2*(x)*(2) + 22x2 = x2 – 4x + 4x2 - x2 = -4x + 4 4x = +4 x = 44 x = 1 |
a) Quinta Forma: 162x = 4416 * 4 = 2x * 464 = 8x8 = 8xx = 88x = 1 | |

“Tercera proporcionalidad geométrica”
La tercera proporcionalidadgeométrica es cuando un término se repite y según establezca nuestra proporción pueden darse 2 valores de ella, también es el primero o cuarto término de una proporción geométrica continúa. Así, en la proporción 2010, 105 ,20 es una tercia proporcional de 10, 5 y 5. Es una tercia proporcionalidad de 10, 5 y 5 es una tercia proporcional de 20 y 10.
Construcción de la 3ra proporcional geométrica1. Dados los segmentos a, y b; para calcular esta proporcional gráficamente se dibujan 2 semirrectas (R1 y R2) desde el punto O formando un ángulo.
2. Sobre R1 y desde O se trasladan los 2 segmentos, delimitados por los puntos A y B respectivamente.
3. Sobre R2 y desde O se traslada nuevamente el segmento B, delimitado por A’.
4. se traza una variante de la primera.
5. Se trazael segmento AA’ y una paralela a éste desde el punto B que cortará a la semirrecta R2 en el punto B’.
6. El segmento A’B’ de longitud x es la tercera proporcional buscada, la cual cumple que:

Ejemplo:
Si se requiere calcular la tercera proporción de 28 y 81 seria:
2881= 81x 8128=28x
28 •x=81•81 81•x=28•28
28x=6561...