Cuarto avance de laboratorio de pds

Ejemplo 3:

Sea h (n) = {-4, 1, -1, -2, 5, 0, -5, 2, 1, -1, 4}.
↑
Determinar la respuesta de amplitud Hr (ω) y las ubicaciones de los ceros de H (z).

Solución:
Es un filtro FIR de fase lineal Tipo-3.
Desde M = 11 y como h (n) es antisimétrica, a partir de a= (M - 1)/2, entonces a= (11-1)/2 =5, tenemos:

c(1) = h(a) = h(5)=0, c(1) = 2h(5 − 1) = 10, c(2) = 2h(5 − 2) = −4,
c(3) = 2h (5 − 3) = −2, c(4) = 2h (5 − 4) = 2, c(5) = 2h (5 − 5) = −8

De:


Obtenemos lo siguiente:

Hr(w)=c(0) + c(1)sinw + c(2)sin2w + c(3)sin3w + c(4)sin4w + c(5)sin5w

Hr(w)=0+10sinw – 4sin2w – 2sin3w + 2sin4w – 8sin5w

EN MATLAB:

function [Hr,w,c,L] = Hr_Type3(h);
% Calcula la Respuesta de Amplitud Hr(w) de un filtro FIR de
% fase lineal Tipo-3
%-----------------------------------------------------------
% [Hr,w,b,L] = Hr_Tipo-3(h)
% Hr = Respuesta de Amplitud
% w = frecuencias entre [0 pi] sobre la que se calcula Hr
% c = Tipo-3 coeficientes de filtro de fase lineal
% L = Orden de Hr
% h= Tipo-3 respuesta al impulso del filtro de fase lineal




M = length(h);
L = (M-1)/2;
c = [2*h(L+1:-1:1)];
n = [0:1:L];
w = [0:1:500]'*pi/500;
Hr =sin(w*n)*c';








h = [-4,1,-1,-2,5,0,-5,2,1,-1,4];
M = length(h); n = 0:M-1;
[Hr,w,c,L] = Hr_Type3(h);
c,L
cmax = max(c)+1; cmin = min(c)-1;
subplot(2,2,1);
stem(n,h);
axis([-1 2*L+1 cmin cmax]);grid
xlabel('n'); ylabel('h(n)');
title('Impulse Response')
subplot(2,2,3);
stem(0:L,c);
axis([-1 2*L+1 cmin cmax]);grid
xlabel('n');
ylabel('c(n)');
title('c(n) coefficients')
subplot(2,2,2);plot(w/pi,Hr);grid
xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Hr')
title('Type-1 Amplitude Response')
subplot(2,2,4); zplane(h);grid
title('Localización de Polos y Ceros')





Ejemplo 4:

Sea h (n) = {-4, 1, -1, -2, 5, 6, -6, -5, 2, 1, -1, 4}.
↑
Determinar la respuesta de amplitud Hr (ω) y las ubicaciones de los ceros de H (z).

Solución:
Es un filtro FIR de fase lineal Tipo-4.
DesdeM = 11 y como h (n) es antisimétrica, a partir de a= (M - 1)/2, entonces a= (12-1)/2 =5.5, de donde tenemos:

b(1) = 2h(12/2 − 1) = 12, b(2) = 2h(12/2 − 2) = 10, b(3) = 2h (12/2 − 3) = −4,
b(4) = 2h (12/2 − 4) = −2, b(5) = 2h (12/2 − 5) = 2, b(6) = 2h (12/2 − 5) = −8

De:


Obtenemos lo siguiente:








EN MATLAB:

function [Hr,w,d,L] = Hr_Type4(h);
%Calcula la Respuesta de Amplitud Hr(w) de un filtro FIR de
% fase lineal Tipo-4
% -----------------------------------------------------------
% [Hr,w,b,L] = Hr_Tipo-4(h)
% Hr = Respuesta de Amplitud
% w = frecuencias entre [0 pi] sobre la que se calcula Hr
% d = Tipo-4 coeficientes de filtro de fase lineal
% L = Orden de Hr
% h= Tipo-4 respuesta al impulso del filtro de fase lineal

M = length(h);
L =M/2;
d = 2*[h(L:-1:1)];
n = [1:1:L]; n = n-0.5;
w = [0:1:500]'*pi/500;
Hr = sin(w*n)*d';



h = [-4,1,-1,-2,5,6,-6,-5,2,1,-1,4];
M = length(h); n = 0:M-1;
[Hr,w,d,L] = Hr_Type4(h);
d,L
dmax = max(d)+1;
dmin = min(d)-1;
subplot(2,2,1);
stem(n,h);
axis([-1 2*L+1 dmin dmax]);grid
xlabel('n'); ylabel('h(n)');
title('Impulse Response')
subplot(2,2,3);
stem(1:L,d);
axis([-1 2*L+1 dmindmax]);grid
xlabel('n'); ylabel('d(n)');
title('d(n) coefficients')
subplot(2,2,2);
plot(w/pi,Hr);grid
xlabel('frequency in pi units'); ylabel('Hr')
title('Type-1 Amplitude Response')
subplot(2,2,4); zplane(h);grid
title('Localización de Polos y Ceros')









Localización de los ceros

Recordemos que para un filtro FIR hay (M -1) polos (triviales) en el origen y (M - 1) ceros situado en algúnlugar en el plano z. Para de fase lineal Filtros FIR, estos ceros poseen ciertas simetrías que son debido a las restricciones de simetría en h (n). Se puede demostrar (ver el Problema P7.7) que si H(z) tiene un cero en:



A continuación, para la fase lineal debe haber un cero en:



Para un filtro de valor real también sabemos que si z1 es complejo, entonces no debe ser un conjugado cero en * =...