Cuaterniones De Hamilton
Páginas: 7 (1738 palabras)
Publicado: 17 de octubre de 2012
1.- ¿Qué son los cuaterniones de Hamilton?
Los cuaterniones son números hipercomplejos. Son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos.
Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i 2 = 1, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga, añadiendo las unidades imaginarias:i, j y k a los números reales y tal que i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1.
Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicación: La Tabla de Cayley
Donde 1, i, j, k son entonces las “bases” de las componentes de un cuaternión.
Un cuaternión es de la forma
x = (a, b, c, d) lo cual puede escribirse como x = a + bi + c j + dk.
Donde a, b, c, d son números reales unívocamente determinadospor cada cuaternión. Los números 1, i, j, k se consideran básicos.
En cuanto al conjugado de x se escribe: x = a - bi -cj + dk.
Pongamos IR4 para simbolizar el conjunto de los cuaterniones. Se trata del conjunto:
Este conjunto coincide con el espacio real de 4 dimensiones, de manera similar que el conjunto de los números reales coincide con el espacio real de una dimensión y el conjuntode los complejos lo hace con el espacio de dos dimensiones.
Todo cuaternión también se puede representar por medio de matrices (matemáticas).
- El cuaternión q = a + bi + cj + dk se puede representar usando matrices complejas de 2 x 2:
- Otra manera es la representación por medio de matrices reales de 4 x 4:
En este caso el determinante de la matriz resulta igual a
Además delas representaciones matriciales un cuaternión puede representarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes
En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k :
Esta representación tiene algunas ventajas que pueden servistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.
Operaciones básicas con estos números
Definimos la suma y producto entre cuaterniones mediante la aritmética usual de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto IR 4 junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un cuerpo, con excepción de que -el producto- no es conmutativo.
La adición serealiza término a término, de manera similar a lo que se hace con los complejos.
Producto
El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:
El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo. Las operaciones señaladas se pueden realizar usando las otras representaciones.
Cociente
Usando la forma del inverso, es posible escribir elcociente de dos cuaterniones como:
El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:
Es el mismo patrón que cumplen los números complejos.
Exponenciación
La exponenciación de números cuaterniónico, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas.
Los cuaterniones y su estructura algebraica
Loscuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico (a veces llamado anillo con división), una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicación, es decir: satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepción de que el producto no es conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso.
Forman una IR-álgebra asociativa4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella.
Los cuaterniones no forman un álgebra asociativa sobre los complejos.
Por último, del mismo modo que los números reales y los complejos constituyen espacios vectoriales euclídeos de dimensiones uno y dos, respectivamente, los cuaterniones forman un espacio vectorial euclideo de dimensión cuatro.
2.- ¿Qué es un...
Los cuaterniones son números hipercomplejos. Son una extensión de los números reales, similar a la de los números complejos.
Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i 2 = 1, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga, añadiendo las unidades imaginarias:i, j y k a los números reales y tal que i 2 = j 2 = k 2 = ijk = 1.
Esto se puede resumir en esta tabla de multiplicación: La Tabla de Cayley
Donde 1, i, j, k son entonces las “bases” de las componentes de un cuaternión.
Un cuaternión es de la forma
x = (a, b, c, d) lo cual puede escribirse como x = a + bi + c j + dk.
Donde a, b, c, d son números reales unívocamente determinadospor cada cuaternión. Los números 1, i, j, k se consideran básicos.
En cuanto al conjugado de x se escribe: x = a - bi -cj + dk.
Pongamos IR4 para simbolizar el conjunto de los cuaterniones. Se trata del conjunto:
Este conjunto coincide con el espacio real de 4 dimensiones, de manera similar que el conjunto de los números reales coincide con el espacio real de una dimensión y el conjuntode los complejos lo hace con el espacio de dos dimensiones.
Todo cuaternión también se puede representar por medio de matrices (matemáticas).
- El cuaternión q = a + bi + cj + dk se puede representar usando matrices complejas de 2 x 2:
- Otra manera es la representación por medio de matrices reales de 4 x 4:
En este caso el determinante de la matriz resulta igual a
Además delas representaciones matriciales un cuaternión puede representarse como el producto interno (componente a componente) de dos vectores, de los cuales uno es el de las componentes
En este caso, el elemento a1 que forma la componente real se anota aparte, y para el producto interno se consideran solamente las tres bases i, j, k :
Esta representación tiene algunas ventajas que pueden servistas en algunas operaciones como el producto de cuaterniones.
Operaciones básicas con estos números
Definimos la suma y producto entre cuaterniones mediante la aritmética usual de los números complejos. Puede comprobarse que el conjunto IR 4 junto con estas operaciones, satisface todas las propiedades de un cuerpo, con excepción de que -el producto- no es conmutativo.
La adición serealiza término a término, de manera similar a lo que se hace con los complejos.
Producto
El producto se realiza componente a componente, y está dado en su forma completa por:
El producto entre cuaterniones es asociativo y no es conmutativo. Las operaciones señaladas se pueden realizar usando las otras representaciones.
Cociente
Usando la forma del inverso, es posible escribir elcociente de dos cuaterniones como:
El inverso multiplicativo de un cuaternión x, distinto de cero, está dado por:
Es el mismo patrón que cumplen los números complejos.
Exponenciación
La exponenciación de números cuaterniónico, al igual que sucede con los números complejos, está relacionada con funciones trigonométricas.
Los cuaterniones y su estructura algebraica
Loscuaterniones son un ejemplo de cuerpo asimétrico (a veces llamado anillo con división), una estructura algebraica parecida a un cuerpo pero no conmutativo en la multiplicación, es decir: satisfacen todas las propiedades de un cuerpo con excepción de que el producto no es conmutativo. La multiplicación es asociativa y todo cuaternión no nulo posee un único inverso.
Forman una IR-álgebra asociativa4-dimensional sobre los reales y los complejos forman un subconjunto de ella.
Los cuaterniones no forman un álgebra asociativa sobre los complejos.
Por último, del mismo modo que los números reales y los complejos constituyen espacios vectoriales euclídeos de dimensiones uno y dos, respectivamente, los cuaterniones forman un espacio vectorial euclideo de dimensión cuatro.
2.- ¿Qué es un...
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