Cuaternios

Laboratorio 15
Control de Trayectorias con cuaternios

Objetivo:
Analizar la trayectoria utilizando cuaternios

Marco teórico
Un cuaternio esta constituido por 4 componentes (q0, q1, q2, q3) que representan las coordenadas del cuaternio en una base [e, i, j, k]. Es frecuente denominar la parte escalar del cuaternio q0 y parte vectorial al resto de componentes, de modo que se puederepresentar como:

Q = (q0, q1, q2, q3 ) = [s ,v]

Donde s representa la parte escalar y v la parte vectorial.

Para la utilización de los cuaternios para la representación de orientaciones, seasocia el giro de un ángulo  sobre el vector K al cuaternio definido por

Q = Rot (k,q) = (cos /2, k sen /2)

Asi tenemos que si el cuaternio De la expresión anterior, se trata de un giro depi/2 por lo que los ángulos de Euler serán (Pi/2, 0,0)


>> Ri= eye (3)

Ri =

1 0 0
0 1 0
0 0 1

>> Rf = [0.8470 -0.3705 -0.3813;
0.51520.3949 0.7607;
0.1313 -0.8407 0.5253]

En el caso de utilizar cuaternios la interpolación queda establecida por
(t) =  (t – ti)/ ( tf – ti)

Según la cual se mantiene constanteel vector de giro K, mientras se interpolas linealmente el ángulo Por tanto se debera obtener el cuaternio Q y par de rotación (k,) asociado, que sonsigue girara Ri para llegar a Rf. El cuaternioque define el giro dado por
R = Ri -1 x Rf

R =
0.8470 -0.3705 -0.3813
0.5152 0.3949 0.7607
0.1313 -0.8407 0.5253
> Q= quaternion (R)
Q = 0.83175

Siendo Q.sla parte escalar del cuaternio
Theta=acos (Q.s)*2
Theta =
1.177175

Siendo Q.v la parte vectorial del cuaternio
>> k= Q.v/sin(Theta/2)
k =
-0.8876 -0.2308 0.3987
Para la mitaddel recorrido se tendrá:
J= 0.5
>> Thetaj= Theta*0.5

Thetaj =

0.5886
>> Qj= quaternion (k,Thetaj)
Qj =
0.95701

>> Rj= Ri*Qj.r

Rj =

0.9643 -0.1869 -0.1876...