Cuentas claras

UNIVERSIDAD DEL VALLE FACULTAD DE INGENIERÍA Probabilidad y estadística Prof. Daniel Arbeláez Taller # 1 CUENTAS CLARAS (Para ampliar el lenguaje) Desde hace cientos de miles de años la especie humana ha venido desarrollando el arte de contar. Los antropólogos siempre se han maravillado de las técnicas que los diferentes pueblos sobre la Tierra, de una manera independiente, lograron con estepropósito reconocido como el génesis de la cultura matemática. Los elementos, las maneras de contar fueron incorporadas lentamente en el lenguaje. Los pueblos de habla inglesa, tenían por ejemplo, expresiones diferentes, para la pregunta que en Español es una sola : ¿Cuánto hay? En inglés es claro que How much? y How many? se refieren a medidas de diferente naturaleza. Existe un avance enorme en ellenguaje cuando tal hecho se hace explícito. En algún sentido Aristóteles se ocupó de cierto tipo de especulaciones que aun hoy nos parecen de una curiosa ociosidad. Se preguntó cuántos granos de arena habrá en el Universo (tal como era concebido en su época). La forma como se hizo este cálculo pionero se encuentra expuesto en el libro de Boyer1 . Arquímedes ‘demostró’ que se requieran no más de 1063en el lenguaje que utilizamos hoy -. El número, por supuesto le pareció inmenso, pero no tan grande ya que él mismo imaginó números realmente inmensos. Al tratar de comunicar estos números hizo un aporte al lenguaje; introdujo el término myriada (no lo he localizado en el diccionario), equivalente a 108. La alfabetización de los números es un ejercicio del lenguaje y de programación decomputadores. Hace unos años un buen programador de computadores debía convertir un número entero en su equivalente en palabras para ser impreso en el cheque de nómina. Creo que todavía es un buen ejercicio de programación, y más aún con la inflación. Recuerdo la época en que mi cheque de nómina apenas pasaba de los mil. Hoy tal vez debería haber programas especiales para convertir las cifras de nómina deciertos burócratas cuyos montos pasan de los 10 millones de pesos. Hablando de burócratas, alguien sabe en este país ¿Cuántos son? Intente el lector hacer un pequeño cálculo. En realidad para contar bien una población finita - bien quiere decir: tener a todos los elementos de la población en cuenta, y contarlos una sola vez - no hay sino dos caminos: o hacerlo como lo hacían en épocasprehistóricas: a cada elemento de la población le corresponde una rayita en un papel, o utilizar la aritmética (casi siempre, sólo la suma y la multiplicación) y un argumento. El argumento es crucial en este contexto. Tanto un buen cuento como una buena cuenta están siempre respaldados por un buen argumento. En el ejemplo, Arquímedes utilizó su concepción del mundo y una serie de multiplicaciones. Resultaincreíble que sea más fácil estimar el número de partículas de arena en el Universo que el número de burócratas colombianos, puesto que el problema no se resuelve ni siquiera con rayitas: hay burócratas que devengan de dos o más instituciones del Estado y los hay también que nunca van al trabajo.

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Carl Boyer ; A History of Mathematics ; John Wiley ; 1968

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Los mismos argumentos utilizadospor Arquímedes los podemos colocar en una notación más moderna y más fácil, utilizando la notación de conjuntos. Son dos principios: el de la suma y el de la multiplicación. En realidad son muy sencillos y hoy nos parecen casi intuitivos:

PRINCIPIO DE LA SUMA : Si número de elementos de un conjunto A es n y el número de elementos de un conjunto B es m, entonces el número de elementos de launión de A y B es n+m, si A y B son disyuntos (no tienen elementos en común). PRINCIPIO DE LA MULTIPLICACION : (Pensemos en términos de un proceso). Si un proceso se puede desarrollar en forma ordenada en m etapas. Si la etapa 1 se puede hacer de n1 maneras, la etapa 2 de n2 maneras, la etapa 3 de n3 maneras, ...., la etapa m se puede desarrollar de nm maneras, entonces, el proceso se puede...