Cuerda vibrante
atic
TRANSFORMADA DE LAPLACE
eM
∞ 0
6.1.
INTRODUCCION
£{f (t)}(s) = F (s) = = si el l´ ımite existe.
e−st f (t)dt
b→∞
Demostracin: veamos que la siguiente integral existe, en efecto: |£{f (t)}(s)| = =
∞ 0 ∞ 0
Un iv
ersi
Teorema 6.1. Si f (t) es una funci´n continua a tramos para t ≥ 0 y adem´s |f (t)| ≤ M ect o a para todo t ≥ T , donde M esconstante , c > 0 constante y T > 0 constante, entonces £{f (t)}(s) existe para s > c.
dad
de
e−st f (t)dt ≤
e−st |f (t)|dt, 215
An tio
l´ ım
qui
0
∞ 0
sabiendo que e−st > 0
a, D
b
e−st f (t)dt,
|e−st ||f (t)|dt
ept
Definici´n 6.1. Sea f (t) una funci´n definida para todo t ≥ 0; se define la o o Transformada de Laplace de f (t) as´ ı:
o. d
atem
asCAP´ ITULO 6.
TRANSFORMADA DE LAPLACE, PROF. JAIME ESCOBAR A. T ∞ T
=
0
e−st |f (t)|dt + I1
e−st |f (t)|dt I2
T
I1 =
0
e−st |f (t)|dt existe, ya que f es continua a tramos
∞
I2 =
T
e
−st
|f (t)| dt ≤
≤ M ect
∞
∞ T
e
−st
M e dt = M
T
ct
∞
e(−s+c)t dt
=
Luego, £{f (t)}(s) existe, si s > c.
qui
M ect , (c > 0) • (0, M ) • T
a,D
f (t) t
f (t)
b) Si f (t) es de orden exponencial, es decir, |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T y c, M constantes, entonces
t→∞
l´ e−st f (t) = 0, s > c ım
216
Un iv
ersi
Figura 6.1
dad
de
An tio
ept
o. d
NOTA: a) cuando f (t) ≤ |f (t)| ≤ M ect para t ≥ T , entonces decimos que f (t) es de orden exponencial (ver figura 6.1).
eM
M e−(s−c)t , suponiendo que s− c > 0 −(s − c) T M −(s−c)T M (0 − e−(s−c)T ) = e = − s−c s−c
atem
atic
as
6.1. INTRODUCCION En efecto, como |f (t)| ≤ M ect , entonces |e−st f (t)| ≤ M e−(s−c)t y como l´ t→∞ e−(s−c)t = 0, si s > c, entonces por el teorema de estriccin en lmites, ım se concluye que l´ |e−st f (t)| = 0, s > c, ım
t→∞
luego
t→∞
l´ e−st f (t) = 0, s > c ım
Observaci´n: £ es un operador lineal,en efecto o
0
= = Teorema 6.2. 1). £{1}(s) = 2). £{tn }(s) = 3). £{eat }(s) =
1 s
α
0
e−st f (t) dt + β
0
5). £{cos kt}(s) =
s s2 +k2
, , , ,
s>0 s > |k| s > |k|
Demostracin: 1). Si s > 0 se tiene que £{1}(s) =
0 ∞
Un iv
ersi
8). £{tn eat }(s) =
n! (s−a)n+1
s > a, n = 1, 2, . . .
dad
7). £{cosh kt}(s) =
s s2 −k2
de
6). £{ senh kt}(s) =k s2 −k2
An tio
4). £{ sen kt}(s) =
k s2 +k2
,
s>0
qui
1 s−a
,
para s > a
a, D
e−st −s
∞ 0
n! sn+1
,
s > 0, n = 1, 2, . . .
ept
=
, s > 0,
£{k}(s) =
k s
, s > 0,
e−st 1 dt =
2). Hagamos la demostraci´n por el m´todo de inducci´n. Para ello, suponemos o e o 217
o. d
1 s
eM
α£{f (t)}(s) + β£{g(t)}(s)
k constante.
atem∞
∞
e−st g(t) dt
atic
£{αf (t) + βg(t)}(s)
def.
=
∞
e−st (αf (t) + βg(t)) dt
as
CAP´ ITULO 6.
TRANSFORMADA DE LAPLACE, PROF. JAIME ESCOBAR A.
que s > 0 y utilizamos el siguiente limite: l´ | ect | = 0, n = 1, 2, . . . ım t
t→∞
n
n = 1 : £{t}(s) =
0
∞
e−st t dt,
∞ 0
hagamos 1 s
∞ 0
= −
te−st s
u=t ⇒ du = dt −st dv = e dt ⇒ v = − 1e−st s
+
e−st dt
0
0
0
0
An tio
Pero por la hip´tesis de inducci´n £{tn−1 }(s) = o o £{tn }(s) =
qui
£{tn−1 }(s) n n = −(0 − 0) + £{tn−1 }(s) = £{tn−1 }(s) s s
(n−1)! , sn
a, D
ept
luego:
= −
tn e−st s
∞
+
n s
∞
e−st tn−1 dt
n (n − 1)! n! = n+1 n s s s
4). Por el m´todo de los operadores inversos, tenemos: e £{ sen kt}(s) = =
∞ 0Un iv
ersi
e−st ( sen kt) dt
∞ 0
dad
de
o. d
£{tn }(s) =
∞
e−st tn dt hagamos
u = tn ⇒ du = ntn−1 dt dv = e−st dt ⇒ v = − 1 e−st s
eM
Supongamos que se cumple para n − 1 y veamos que se cumple para n. En efecto:
atem
atic
∞ 0 ∞ 0
1 −st e sen kt D
∞ 0
=e
−st
1 sen kt D−s
= e 218
−st
D+s sen kt D 2 − s2
=e
−st
D+s sen kt −k...
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