Cuerpos Platonicos

Cuerpos Platónicos Tetraedro Construcción Se construyen 4 triángulos equiláteros que tengan la medida a.

a

a

Tetraedro

Fórmula para el área Se calcula el área de un triangulo equilátero. sen60°=h ↔ h=b.sen60° ↔ h=√3.a a 2 Atriángulo=a.√3.b 4 Atriángulo=√3.a2 4

a h

60°
1

Atetraedro=4.√3.a2 4 Atetraedro=a2.√3 Fórmula para el volumen Se calcula el volumen del tetraedro.

aph

x a

x

30° a 2

tan30°=2.x ↔ x=a.tan30° ↔ x=a.√3 ↔ x=√3.a a 2 2 3 6 ap=√3.a ↔ ap2=h2+x2 ↔ h2=ap2-x2 ↔ h2=(√3.a)2-(√3.a)2 ↔ h2=3.a2-3.a2 ↔ h=√(2.a2) ↔ h=√6.a 2 2 6 4 36 3 3 Vtetraedro=1.√3.a2.√6.a=√18.a3=3.√2.a3 3 4 3 36 36 Vtetraedro= a3.√2 12 Hexaedro Construcción Se construyen 6 cuadrados que tengan la medida a.

a

2

a Hexaedro Fórmula para el área Se calcula el área deun cuadrado. Acuadrado=a.a Acuadrado=a2 Ahexaedro=6.a2

a Fórmula para el volumen Se calcula el volumen del hexaedro.

a
3

Vhexaedro=a.a.a Vhexaedro=a3 Octaedro Construcción Se construyen 8 triangulos equilateros que tengan la medida a.

a

a

Octaedro

4

Fórmula para el área Se calcula el área de un triangulo equilatero. sen60°=h ↔ h=b.sen60° ↔ h=√3.b b 2 2Atriángulo=a.√3.b=√3.a 4 4 Aoctógono=8.√3.a2 4 Aoctógono= 2.a2.√3 60°

a h

Fórmula para el volumen Se calcula el volumen de la pirámide.

a h y a 2 y

a 2 a y2=(a)2+(a)2=2.a2=a2 ↔ y=√2.a 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a =h +y ↔ h =a -y ↔ h =a2-(√2.a)2 ↔ h2=a2-a2 ↔ h2=a2 ↔ h=√2.a 2 2 2 2 2 3 Vpirámide=1.a .√2.a ↔ Vpirámide=√2.a 3 2 6 Voctaedro=2.Vpirámide ↔ Voctaedro=2.√2.a3 6 Voctaedro=a3.√2 3

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DodecaedroConstrucción Se construyen 12 pentagonos regulares que tengan la medida a.

a

a

Dodecaedro Fórmula para el área Se calcula el área de un pentagono regular. tan72°=2.b ↔ b=a.tan54°=a.sen54° a 2 2.cos54° cosn.t+i.senn.t=(cost+sent)n ↔ n=5 ˄ t=54° cos5.t+i.sen5.t=(cost+i.sent)5 b 54° a 2
6

(cost+i.sent)5=cos5t+5.cos4t.i.sent+10.cos3t.i2.sen2t+10.cos2t.i3.sen3t+5.cost.i4.sen4t+i5.sen5t=cos5t+5.cos4t.i.sent-10.cos3t.sen2t-10.cos2t.i.sen3t+5.cost.sen4t+i.sen5t= cost.(cos4t-10.cos2t.sen2t+5.sen4t)+i.sent.(5.cos4t-10.cos2t.sen2t+sen4t)= cost.[cos4t-10.cos2t.(1-cos2t)+5.(1-cos2t)2]+i.sent.[5.(1-sen2t)2-10.(1-sen2t).sen2t+sen4t]= cost.(cos4t-10.cos2t+10.cos4t+5-10.cos2t+5.cos4t)+i.sent.(5-10.sen2t+5.sen4t10.sen2t+10.sen4t+sen4t)= cost.(16.cos4t-20.cos2t+5)+i.sent.(16.sen4t-20.sen2t+5)=16.cos5t-20.cos3t+5.cost+i.(16.sen5t-20.sen3t+5.sent)=cos5.t+i.sen5.t ↔ cos5.t=16.cos5t-20.cos3t+5.cost ˄ sen5.t=16.sen5t-20.sen3t+5.sent ↔ t=54°, cost=x ˄ sent=y cos270°=16.x5-20.x3+5.x=0 ˄ sen270°=16.y5-20.y3+5.y=-1 16.x4-20.x2+5=0 ˄ 16.y5-20.y3+5.y+1=0 ↔ (16.y5-20.y3+5.y+1):(y+1)=16.y4-16.y3-4.y2+4.y+1 ↔ 16.y4-16.y3-4.y2+4.y+1=016.y4-16.y3+4.y2-8.y2+4.y+1=(4.y2)2-2.4.y2.2.y+(2.y)2-2.(4.y2-2.y)+1=(4.y2-2.y)2-2.(4.y2-2.y).1+12= [(4.y2-2.y)-1]2=0 ↔ 4.y2-2.y-1=0 ↔ y1-2-3-4=2±√(4+16)=2±√20=2±2.√5=1±√5 ↔ sen54°=1+√5 8 8 8 4 4 16.x4-20.x2+5=0 ↔ x1-2-3-4=±√[20±√(400-320)]=±√(20±√80)=±√(20±4.√5)=±√(10±2.√5)= 32 32 32 16 ±√(10±2.√5) ↔ cos54°=√(10-2.√5) 4 4 b= a.(1+√5).4 =a.(1+√5).√(10+2.√5)=a.√[(1+√5)2.(10+2.√5)]=a.√5.√[(1+2.√5+5).(10+2.√5)]= 2.√(10-2.√5).4 2.√80 8.√5 40a.√5.√[(6+2.√5).(10+2.√5)]=a.√5.√(60+12.√5+20.√5+20)=a.√5.√(80+32.√5)=a.√5.√[16.(5+2.√5)]= 40 40 40 40 a.√5.4.√(5+2.√5)=a.√5.√(5+2.√5) 40 10 Atriángulo=a.a.√5.√(5+2.√5)=a2.√5.√(5+2.√5) 2.10 20 Apentágono=5.b2.√5.√(5+2.√5)=a2.√5.√(5+2.√5) 20 4 Adodecaedro=12.a2.√5.√(5+2.√5) 4 Adodecaedro=3.a2.√5.√(5+2.√5)

7

Fórmula para el volumen Para poder calcular el volumen tenemos que imaginarnos el cuerpo cortado por la mitad y ejesconcéntricos de la siguiente forma.

Ω=360°=36° 10 Ω

Imaginamos que el dodecaedro se puede dividir en 12 piramides de base pentagonal concéntricos, y nos imaginamos por donde pasan los ejes con respecto a la piramide.

ap

ap

y

y

108°

y a 2

y2=(a)2+(a)2-2.a.a.cos108°=a2-a2.cos108°=a2.(1-cos108°) ↔ 2 2 22 2 2 2 cos108°=cos2.54°=1-2.sen254°=1-2.(1+√5)2=1-(1+√5)2= 4...