cuestionario

Binomio de Newton
Principio del formulario
(a + b) n

(a - b) n

Explicación:

El cuadrado de una suma (a + b)2 o el cuadrado de una resta (a - b)2 son sólo los casos más sencillos cuando elevamos un binomio a una potencia. Para estos casos, son conocidas las fórmulas "el cuadrado del primero más (o menos) el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo", es decir:
(a+ b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2

Si generalizamos esto para cualquier exponente n, tenemos lo que se conoce como "Binomio de Newton". Según esta fórmula, los coeficientes del desarrollo de (a + b)n son los números combinatorios mientras que los términos van disminuyendo el grado de a de uno en uno y aumentando el de b de uno en uno (de forma que la suma de los exponentes siemprees n), con lo que obtenemos:


Precisamente esos coeficientes son los números de la fila enésima del Triángulo de Tartaglia:


Por ejemplo, si elevamos a la sexta potencia, los coeficientes son los números del triángulo de Tartaglia de la fila del 6, es decir, 1, 6, 15, 20, 15, 6 y 1, con lo que obtendríamos:
(a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + 6ab5 + b6

Si lo que elevamoses una resta, es igual pero alternando los signos más y menos, es decir:
(a - b)6 = a6 - 6a5b + 15a4b2 - 20a3b3 + 15a2b4 - 6ab5 + b6




Para desarrollar binomios a la potencia 2 y 3 sabes q hay
(a+b)² = a²+2ab+b²
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
para potencias mayores, se utiliza el teorema del Binomio de Isaac Newton (Ingles), q utiliza el concepto de FACTORIAL y COMBINATORIAS:
Elfactorial del número n, es el resultado del producto de todos números naturales desde el 1 hasta el mismo. Osea
.... 1! = 1
.... 2! = 1.2 = 2
.... 3! = 1.2.3 = 6
.... 4! = 1.2.3.4 = 24
.... 5! = 1.2.3.4.5 = 120
.... 6! = 1.2.3.4.5.6 = 720, ...... etc
propiedad.... n! = n • (n-1)!
.......ejem ... 9! = 9 • 8!
................. 12! = 12 • 11!
El Factorial de CERO es 1
El núnero combinatorio de"m" elementos juntados en grupos en "n" elementos es:

............... m ....... m! ..
............. C . = --------------- ..
............... n .... n! (m-n)!

m(índice superior) y n(índice inferior) son números naurales ( |N )
Ejemplo: Si tengo 3 elementos y quiero agrupar en grupos de 2:
a,b,c => a,b ...a,c....bc tres grupos.
Aplicando la combinatoria de 3 en base 2

.... 3 ...... 3!.............. 1.2.3 ..
.. C = --------------- .=.---------------- = 3
.... 2 ... 2! (3-2)! ....... (1.2)(1!) ..

Luego tengo 9 elementos ...... 9 ...... 9! .......... 9.8.7.6! ..
Si los agrupo de a 3............ C . = ------------- . = ------------ = 84 ..
......................................… 3 .... 3! (9-3)! ........ 3! 6! ..
Propiedades ..... m! ..
.... C(m,m) = .-------------- = 1; ... C(m,1) = 1 .... C(m,0)= 1 ...
..................... m! (m-m)! ..
La fórmula del binomio de Newton es

.................... n ............ n ............. n ...
(a+b)ⁿ = aⁿ + C aⁿˉ¹ b + C aⁿˉ² b² + C aⁿˉ³ b³ + ..... + bⁿ.....
.................... 1 ............ 2 ............. 3 ....

En el desarrollo, se ve q las potencias del primer elemento "a" van en descenso de uno en uno, encambio para "b", segundo elemento del binomio sus potencias son crecientes de uno en uno. Las combinatorias nos dan los coeficientes de cada término, asi para el 2do término la combinatoria es C(n,1)= n!/1!(n-1)! =n(n-1)!/1! (n-1)!=n
Luego se puede calcular cualquier termino.
Ejem Hallar (2x+3)^5
C(5,0)(2x)^5+C(5,1) (2x)^4 (3)+C(5,2)(2x)^3(3)^2+C(5,3)(2x)^2(3)^3
+ C(5,4) (2x)(3)^4 + C(5,5)(3)^5
Calculas las combinatorias
C(5,0) = C(5,5)=C(5,1) = 1 (propiedades)
C(5,2)= 5!/3! (5-2)! = 5.4.3!/3! .2! = 10 = C(5,3)
C(5,4)= 5!/4!(5-4)! = 5
(2x+3)^5
=2^5x^5+5(2^4x^4)(3)+10(2^3x^3)(3^2)+ ..
+10(2^2x^2)(3^3) + 5(2x)(3^4)+3^5 ..
=32x^5+240x^4+720x^3+1080x^2+810x+243 ..

El TERMINO GENERAL
Sea el Binomio Newton (a+b)^n
............. n ..... n - k ..k ..
.....T = C .....(a) .......