Cuestiones sobre ondas

1) Demostreu que si : ࢟૚ ൌ ࡭૚ ‫ܛܗ܋‬ሺ࢑૚ ࢞ െ ࢝૚ ࢚ሻ ࢏ ࢟૛ ൌ ࡭૛ ‫࢑ ܛܗ܋‬૛ ࢞ െ ࢝૛ ࢚ሻ són solucions de
ሺ
ࣔ૛ ࢟

૚ ࣔ૛ ࢟

l’equació d’ones: ࣔ૛࢞ െ ࢉ૛ ࣔ૛࢚ ൌ ૙ llavors la combinació lineal ࢟ሺ࢞, ࢚ሻ ൌ ࢻ࢟૚ ൅ ࢼ࢟૛ , en la
qual ࢻ i ࢼ són constants, també és una solució de l’equació i és, per tant, una ona.

‫ ݕ‬ൌ ‫ݕ‬ଵ ൅ ‫ݕ‬ଶ ൌ ‫ܣ‬ଵ cosሺ݇ଵ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଵ ‫ݐ‬ሻ ൅ ‫ܣ‬ଶ cosሺ݇ଶ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଶ ‫ݐ‬ሻ
v ൌ ‫ ݕ‬ᇱଵ൅ ‫ ݕ‬ᇱ ଶ ൌ ‫ܣ‬ଵ ‫ݓ‬ଵ sinሺ݇ଵ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଵ ‫ݐ‬ሻ െ ‫ܣ‬ଶ ‫ݓ‬ଶ sinሺ݇ଶ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଶ ‫ݐ‬ሻ
a ൌ ‫ ݕ‬ᇱᇱଵ ൅ ‫ ݕ‬ᇱᇱ ଶ ൌ െ‫ܣ‬ଵ ‫ݓ‬ଵ ‫ݓ‬ଵ sinሺ݇ଵ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଵ ‫ݐ‬ሻ െ ‫ܣ‬ଶ ‫ݓ‬ଶ ‫ݓ‬ଶ sinሺ݇ଶ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଶ ‫ݐ‬ሻ
డమ ௬
డమ ௧

= െ‫ܣ‬ଵ ݇ଵ sinሺ݇ଵ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଵ ‫ݐ‬ሻ

߲ଶ‫ݕ‬
ൌ െ‫ܣ‬ଵ ݇ଵ ݇ଵ cosሺ݇ଵ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଵ ‫ݐ‬ሻെ‫ܣ‬ଶ ݇ଶ ݇ଶ cosሺ݇ଶ ‫ ݔ‬െ ‫ݓ‬ଶ ‫ݐ‬ሻ
߲ଶ‫ݔ‬
c= f·ߣ

߲ଶ‫1 ݕ‬
െ ܽൌ0
߲ଶ‫ܿ ݔ‬ଶ

2) Seguint la demostració quepots trobar en els apunts donats o en qualsevol llibre indica
quins són els punts essencials en la deducció de l’equació d'ones longitudinals elàstiques en
barres llargues. Fes una Taula de velocitats de propagació per alguns materials utilitzant els
corresponents mòduls de Young i densitats dels materials.
Aplicant la segona llei de Newton sobre la barra:

On F2 i F1 són les forces queactuen en sentit contrari a la propagació de l’ona en la secció B’ i
A’ respectivament.
Desenvolupant matemàticament s’obté:

On F depèn de ds de la següent forma:

Sabent que l’allargament és proporcional a la força aplicada, es dedueix que:

Aïllant i derivant respecte x:

Substituïm i trobem que :

D’on es dedueix que:

3) Investiga i explica què són les ones P i ones S en elsterratrèmols. Relaciona-les amb els
diferents tipus d'ones que es poden propagar per un sòlid. Com relacionaríeu la diferència de
velocitat de les ones Si P per determinar la posició de l'epicentre?

Les ones P (primàries) són ones longitudinals o compressibles, cosa que significa que el sòl es
alternadament comprimit i dilatat en la direcció de la propagació. Aquestes ones generalment
viatgen a unavelocitat 1.73 vegades més ràpid que les ones S y poden viatjar a través de
qualsevol tipus de material líquid o sòlid. Velocitats típiques son 1450m/s en el aigua i al
voltant de 5000m/s en el granit.
Les ones S (secundàries) són ones en les quals el desplaçament és transversal a la direcció de
propagació. La seva velocitat és menor a la de les ones P, per tant arriben més tard queaquestes. Aquestes ones són les que generen les oscil·lacions durant el moviment sísmic i les
que produeixen la major part dels danys. Només es traslladen a través d’elements sòlids.
Per saber la posició del epicentre, mesuraria la diferencia de temps entre que arriba una ona S
i una ona P. Contra més distancia estigui el epicentre del lloc de observació més diferencia de
temps hi haurà, de tal maneraque:
‫ݔ‬௉ ሺ‫ݐ ,ݒ‬ሻ = ‫ݒ‬௉ ‫ݔ → ݐ‬ௌ ሺ‫ݐ ,ݒ‬ሻ = ‫ݒ‬ௌ ሺ‫ݐ∆ + ݐ‬ሻ → ሺ‫ݒ‬௉ − ‫ݒ‬ௌ ሻ‫ݒ = ݐ‬ௌ ሺ∆‫ݐ‬ሻ → ‫= ݐ‬
‫ݒ = ݔ‬௉ ‫= ݔ → ݐ‬

‫ݒ‬ௌ ሺ∆‫ݐ‬ሻ
ሺ‫ݒ‬௉ − ‫ݒ‬ௌ ሻ

‫ݒ‬௉ ‫ݒ‬ௌ ሺ∆‫ݐ‬ሻ
ሺ‫ݒ‬௉ − ‫ݒ‬ௌ ሻ

Sabent això i traçant circumferències (de radi x segons la formula de dalt) en els llocs on s’ha
rebut el seisme, el lloc geomètric on s’encreuen 3 circumferències es l’epicentre .

4) Què és laimpedància acústica en les ones sonores? Per què se’n diu així i com es

relaciona amb la impedància de les oscil·lacions forçades?

Cada mitjà, sòlid,

líquid o gasós, ofereix una

facilitat més o menys gran per a

la

propagació del so. Per analogia amb el corrent elèctric, es diu que el medi té una
impedància acústica (Z).
La impedància es defineix com el quocient entre la pressió acústica(P) i la velocitat
pròpia del moviment vibratori definida abans com velocitat del so (c).
És a dir:

‫ݖ‬ൌ

௉
௩

que per al cas d’ones planes es pot expressar també com:

‫ ݖ‬ൌ߷·ܿ

essent ߷ la massa volumètrica (densitat), i c la velocitat de propagació.
El nom de 'impedància acústica' ve donat per l’analogia amb la llei d’Ohm de teoria de
circuits, mitjançant la qual s’anuncia...