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4.7.1 Concavidad y puntos de Inflexión de una curva.
Así como los puntos máximos y mínimos de una curva se caracterizan por ser puntos en los
cuales la curva cambia de creciente a decreciente oviceversa, los llamados puntos de
inflexión de una curva (cuando existen), se caracterizan por determinar un cambio en la
concavidad de la curva.
Antes de presentar la definición precisa deconcavidad, se harán algunas observaciones de
tipo intuitivo.
Considere la función f cuya gráfica aparece en la fig. Note en primer lugar que la curva
que f representa, tiene tangente en todos sus puntos.fig. 4.12
Se observa que en los puntos “cercanos” a x1, pero diferentes de x1, la curva se
encuentra por “debajo” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es cóncava
hacia abajo enel punto x1.
Igualmente se observa que en los puntos “cercanos” a x2, pero diferentes de x2, la
curva se encuentra por “encima” de la recta tangente. Se dice en este caso que la curva es
cóncavahacia arriba en el punto x2.

El punto (c, f (c)) de la curva en el cual la concavidad “cambia” se conoce con el
nombre de punto de inflexión de la curva.
Las ideas anteriores se precisan en lassiguientes definiciones:
Definiciones:
Sea f una función derivable en un punto c.
i.

f
es cóncava hacia arriba en c o cóncava positiva en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cualpertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:

Z(x) = { − f ' (c)(x − c) − f (c) > 0
f (x)
144 2444
4
3
yc

yc: y de la curva

;

yt

yt: y de la tangente

fig. 4.13ii.

f
es cóncava hacia abajo en
c o cóncava negativa en c, si existe un
intervalo abierto (a, b) al cual pertenece c, tal que para todo x de (a, b), x
≠ c se cumple que:

Z(x) = f (x) − f '(c)(x − c) − f (c) < 0
iii.

f es cóncava hacia arriba (abajo) en un intervalo I, si lo es en cada punto de
I.

iv.

Un punto (c, f (c)) de una curva es un punto de inflexión, si existe un...