Curri

3
3.1

Transformada de Laplace
Breve nota sobre integrales impropias
b

Recordemos que la integral de Riemann Z

f (t) dt;

a

sólo está de…nida para algunas funciones acotadas en un intervalo …nito. Las funciones para las cuales la integral de Riemann está de…nida se llaman integrables e incluyen a las funciones cuyas discontinuidades forman un conjunto numerable. Si la función noes acotada o el intervalo no es …nito no existe la posibilidad de integrabilidad Riemann directamente porque el caso no fue incluido en la de…nición. Para tratar de integrales del tipo R 1 dx R1 p ó 1 dx ; (1) x2 0 x hay que introducir un concepto nuevo: el de integrales impropias. Hay que imaginar que un conjunto no acotado, como el subgrafo de las funciones en (1), puede tener área …nita.

y=1 p x

y = x2

Si la función f es integrable (en particular acotada) en todo subintervalo [a; b] y existe el límite Z b ` = lim f (t) dt; b!+1 a R1 diremos que existe o que es convergente la integral impropia a f (t) dt y escribiremos Z 1 f (t) dt = `:
a

Cálculo III 2011

Transformada de Laplace

R1 R1 Si converge la integral impropia a jf (t)j dt se puede probar que la integral a f(t) dt R1 es convergente. En este caso diremos que a f (t) dt es R absolutamente convergente. La R1 1 integral a f (t) dt puede converger sin que lo haga a jf (t)j dt. En este caso hay convergencia condicional. Un ejemplo de esta situación se da con la integral impropia Z 1 sen t dt: t 0 Rb Para funciones f no negativas, a f (t) dt es una función no negativa y creciente de Rb b. Esto deja sólodos posibilidades: o la integral converge o limb!1 a f (t) dt = +1: Es por eso que para este caso (f 0) y sólo para este caso, la convergencia de la integral R1 impropia se expresa diciendo que a f (t) dt < 1: La utilidad del concepto de convergencia absoluta viene de la posibilidad de comparar entre f g en [a; +1) y R 1 integrales de funciones no negativas. Es claro que 0 R1 Ra1 g (t) dt < 1implica a f (t) dt < 1. Entonces, si jf (t)j g (t) en [a; +1) y R1 g (t) dt < 1 podremos a…rmar que a f (t) dt es convergente. a Para funciones no acotadas en intervalos …nitos, por ejemplo una función f acotada en cada intervalo [a + "; b] con lim"!0+ f (a + ") = 1, se de…nirá Z b Z b f (t) dt = lim f (t) dt:
a "!0+ a+"

Ejemplos. 1. Los subgrafos de la función x = t 1 sobre los intervalos (0; 1] y[1; 1) deben ser iguales por la simetría de la hipérbola. Ambos tienen área in…nita. Y es una situación límite. Pequeñas rotaciones de la hipérbola hacia uno u otro lado convierten uno en …nito dejando, por supuesto, in…nito aquél que se agrandó.

En negro t 1 . En azul t 1+ . En rojo t 1 . Veamos los cálculos. 8 1 8 < +1 > > Z 1 < 1 lim"!0+ +1 (1 " +1 ) = t dt = : +1 > 0 > : + ln " = +1 lim"!02

si si

> <

1 ; si 1 si 6= = 1 1

Cálculo III 2011 8 > > < > > :
t

Transformada de Laplace 8 < :
1 +1

Z 2. Si

si si

< >

1 ; si 1 si 6= = 1 1

1

t dt = R1
0

limb!1

1 +1

(b

+1

1) =

1

+1

limb!1 ln b = +1
1

> 0;

e

dt =

e

t 1 j0

=

1

3. La función gamma. Sea a > 0 y consideremos la integral impropia Z 1 ta 1 e t dt:
0(2)

La primera es fácil porque, para t 0; e t 1. Entonces ta 1 e t ta 1 , una potencia de exponente mayor que 1; y la integral converge como se vió en el ejemplo 1. El análisis de I2 es más complicado. Primero se advierte que la exponencial crece más fuerte que cualquier potencia (l’ Hopital lo corrobora). De modo que ta+1 e t ! 0 para t ! +1. Esto asegura que, a partir de un cierto valor K >1, será, digamos, ta+1 e t 1: Pero entonces t En consecuencia, Z
1

Si 0 < a < 1, esta integral es doblemente impropia, porque además de ser in…nito el intervalo el integrando tiene una singularidad en 0. Se divide en dos integrales: R1 R1 I1 = 0 ta 1 e t dt y I2 = 1 ta 1 e t dt:

K =) ta 1 e Z

t

t 2: Z

t

a 1

e dt

t

1

t dt <

2

1

K

K

1

t 2 dt < 1;...