Curriculum

AVANCE DEL PROYECTO

1.- TEMA:
NUMEROS PERFECTOS Y NUMEROS AMIGOS

2.- INTRODUCCION:
Número perfecto
Un número perfecto es un número natural que es igual a la suma de sus divisores propiospositivos, sin incluirse él mismo. Dicho de otra forma, un número perfecto es aquel que es amigo de sí mismo.
Así, 6 es un número perfecto, porque sus divisores propios son 1, 2 y 3; y 6 = 1 + 2 + 3. Lossiguientes números perfectos son 28, 496 y 8128.
El matemático Euclides descubrió que los cuatro primeros números perfectos vienen dados por la fórmula:
* n = 2:   21 × (22 – 1) = 6
* n = 3:   22 ×(23 – 1) = 28
* n = 5:   24 × (25 – 1) = 496
* n = 7:   26 × (27 – 1) = 8128
Al darse cuenta que 2n – 1 es un número primo en cada caso, Euclides demostró que la fórmula 2n–1(2n – 1) generaun número perfecto par siempre que 2n – 1 es primo.
Los matemáticos de la Antigüedad hicieron muchas suposiciones sobre los números perfectos basándose en los cuatro que ya conocían. Muchas de estassuposiciones han resultado ser falsas. Una de ellas era que, como 2, 3, 5 y 7 eran precisamente los cuatro primeros números primos, el quinto número perfecto se obtendría con n = 11, el quinto númeroprimo. Sin embargo, 211 – 1 = 2047 = 23 × 89 no es primo y por tanto n = 11 no genera un número perfecto. Dos de las otras suposiciones equivocadas eran:
* El quinto número perfecto tendría cincodígitos, ya que los cuatro primeros tienen 1, 2, 3 y 4, respectivamente.
* Los números perfectos terminarían alternativamente en 6 y en 8.
El quinto número perfecto (33550336) tiene 8 dígitos,contradiciendo así la primera suposición. En cuanto a la segunda, el quinto número perfecto acaba en 6, pero también el sexto (8589869056) termina en 6. (El que la última cifra de un número perfecto parexpresado en base 10 siempre sea 6 u 8 no es difícil de demostrar.)
Es verdad que si 2n – 1 es un número primo, entonces 2n–1(2n – 1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente...