Curso Algebra Lineal

lgSistemas de Ecuaciones y Matrices
0.1 Sistemas de ecuaciones

Consideremos las gr´ficas de dos funciones f y g como en la figura siguiente: a
6

y = f (x) •
P Q

• y = g(x)

 ?

-

En la pr´ctica, en ocasiones hay que encontrar puntos como P (a, b) y a Q(c, d), en donde las gr´ficas se intersectan. Como P (a, b) est´ en cada a a gr´fica, el par (a, b) es una soluci´n de lasecuaciones y = f (x) y y = g(x); a o esto es: b = f (a) y b = g(a).

Decimos que (a, b) es una soluci´n del sistema de ecuaciones (o simplemente o sistema): y = f (x) y = g(x), donde la llave se usa para indicar que las ecuaciones deben tratarse en forma simult´nea. Del mismo modo, el par (c, d) es una soluci´n del sistema. a o Resolver un sistema de ecuaciones significa hallar todas las soluciones.

1Ejemplo: Consideremos el sistema y = x2 y = 2x + 3. Las gr´ficas de las ecuaciones son una par´bola y una recta. a a Realizando una gr´fica, es f´cil ver que los puntos (−1, 1) y (3, 9) son a a soluciones del sistema (Ejercicio para el lector). Sin embargo, deseamos tener una estrategia algebraica que permita encontrar las soluciones. Una de ellas es llamada el m´todo de sustituci´n. e oB´sicamente, el m´todo de sustituci´n consiste en los siguientes pasos: a e o 1. Despejar una variable de una de las ecuaciones en t´rminos de otra. e 2. Sustituir en la otra ecuaci´n la expresi´n encontrada en el paso anterior o o a fin de obtener una ecuaci´n s´lo en una variable. o o 3. Encontrar las soluciones de la ecuaci´n en una variable obtenida en el o paso anterior. 4. Reemplazar los valoresencontrados en el paso anterior en la ecuaci´n o del paso 1, para hallar los valores en la otra variable. 5. Comprobar cada par (x, y) encontrado en el paso 4, en el sistema dado. Por ejemplo, si consideramos las ecuaciones y = x2 y y = 2x + 3 del ejemplo en la introducci´n, podemos sustituir x2 por y en y = 2x + 3 obteniendo: o x2 = 2x + 3 ´ o (x + 1)(x − 3) = 0, de donde se obtienen las solucionesx = −1 y x = 3. Esto da los valores x de las soluciones (x, y) del sistema. A fin de hallar los valores y correspondientes, podemos usar y = x2 ´ y = 2x + 3. Con o 2

y = x2 , resulta Si x = −1 , entonces y = (−1)2 = 1 Si x = 3 , entonces y = 32 = 9. Por lo tanto, las soluciones del sistema son (−1, 1) y (3, 9). Ejemplo: Resolvamos el sistema x + y2 = 6 x + 2y = 3. Para ello, despejamos x en lasegunda ecuaci´n en t´rminos de y: o e x = 3 − 2y. Sustituimos la expresi´n de x encontrada, en la primera ecuaci´n del sistema: o o (3 − 2y) + y 2 = 6 ´ o y 2 − 2y − 3 = 0. Resolvemos para y la ecuaci´n anterior. Se obtiene: o y=3 , y = −1.

Los anteriores son los unicos valores posibles de y para las soluciones del ´ sistema. Utilizamos ahora la ecuaci´n x = 3 − 2y a fin de hallar los valores ode x correspondientes: Si y = 3 , entonces x = 3 − 2 · 3 = −3 Si y = −1 , entonces x = 3 − 2 · (−1) = 5. Por lo tanto, las soluciones posibles son (−3, 3) y (5, −1). 3

Las gr´ficas de las ecuaciones (par´bola y recta) son las siguientes, donde a a se muestran los puntos de intersecci´n: o
6

b

b

b

b

b

b

b



b

b

b

b

b b b b b

b

?

Ejemplo:Resolvamos el sistema: x2 + y 2 = 25 x2 + y = 19. Despejamos x2 de la segunda ecuaci´n: o x2 = 19 − y. Sustituimos en la primera ecuaci´n, obteniendo: o (19 − y) + y 2 = 25. Simplificamos y factorizamos, obteniendo: y2 − y − 6 = 0 ´ o (y − 3)(y + 2) = 0. 4

As´ los unicos valores posibles de y son: y = 3 y y = −2. Usamos x2 = 19−y ı, ´ con objeto de hallar los correspondientes valores de x: Si y = 3 ,entonces x2 = 19 − 3 = 16. Luego, x = ±4

√ Si y = −2 , entonces x2 = 19 − (−2) = 21. Luego, x = ± 21.

As´ las unicas soluciones posibles del sistema son: ı, ´ (4, 3), (−4, 3), √ ( 21, −2), √ (− 21, −2).

N´tese que la gr´fica de x2 + y 2 = 25 es un c´ o a ırculo con radio 5 y centro en el origen. La gr´fica de y = 19 − x2 es una par´bola con un eje vertical. Las a a gr´ficas se muestran en...