Curso de fisica

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Una magnitud escalar es aquella que queda completamente determinada con un número y sus correspondientes unidades, y una magnitud vectorial es aquella que, además de un valor numérico y sus unidades (módulo) debemos especificar su dirección y sentido.

La elección de un escalar o un vector para representar una magnitud física depende de la naturaleza de lamisma; si estamos describiendo la temperatura de una habitación, la densidad de un cuerpo, su masa... necesitaremos representarlas mediante un número. Por el contrario, cuando trabajemos con magnitudes como la fuerza, la velocidad, la aceleración, el campo eléctrico, etc., emplearemos vectores.

Un vector en el espacio tridimensional está caracterizado por tres números que se denominancomponentes o coordenadas del vector.

Las componentes de un vector serán en general diferentes dependiendo del sistema de coordenadas que utilicemos para expresarlas, pero siempre es posible relacionarlas de una manera sistemática.
Sistemas de coordenadas
En general a lo largo de estas páginas emplearemos el sistema de coordenadas cartesianas para especificar las componentes de un vector.
El sistemade coordenadas cartesianas está constituido por tres ejes (dos si trabajamos en dos dimensiones) perpendiculares entre sí que se cortan en un punto llamado origen.
Componentes cartesianas

En tres dimensiones:

Componentes cartesianas

En tres dimensiones:

Las componentes cartesianas de un vector son las proyecciones de dicho vector sobre cada uno de los ejes. Como se observa en lafigura anterior están relacionadas con el ángulo que forma el vector con el eje x y con su longitud (módulo):



Por tanto, el vector a puede expresarse como:

Y en ese caso está expresado en coordenadas polares
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Vectores constituyentes

Vector unitario
AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

AB mide 3, por lo que:

Y su módulo:

Unvector unitario es aquél que tiene módulo 1. Para hallar un vector unitario a partir de cualquier vector, hay que dividir este último por su módulo.

Un vector unitario puede emplearse para definir el sentido positivo de cualquier eje. Así, para los ejes cartesianos x,y,z se emplean los vectores i, j y k:
Vectores unitarios para los ejes cartesianos:
Del mismo modo puedendefinirse un vector tangente y un vector perpendicular a una curva en cada punto, o un vector unitario en las direcciones radial y angular:

Con ayuda de estos vectores unitarios puede expresarse un vector cualquiera en función de sus vectores constituyentes
Vectores constituyentes de un vector

Una vez introducidos los vectores unitarios i, j, k que definenlos sentidos positivos de los ejes cartesianos, podemos expresar cualquier vector como la suma de los siguientes vectores:
Componentes cartesianas:

En tres dimensiones:

Componentes cartesianas:

En tres dimensiones:

Como se observa en la figura anterior:

Y de forma análoga en tres dimensiones:

Que es la forma que más comúnmente emplearemos para expresar una magnitud vectorial.Operaciones con vectores

Supongamos que tenemos dos vectores u y v expresados a partir de sus vectores constituyentes, en dos dimensiones para simplificar:

Suma de vectores

Se define el vector suma de ambos (w) a otro vector cuyas componentes se calculan sumando las componentes de cada uno de ellos.

Se puede apreciar según el dibujo que gráficamente esto equivale a colocar un vectora continuación del otro y dibujar el vector desde el origen del primero al final del segundo.
Producto escalar (·)
El producto escalar de dos vectores u y v que forman un ángulo φ se define como:

De la expresión anterior se observa que el producto escalar de dos vectores no es un vector, es un número (un escalar). Además el producto escalar de dos vectores...