Curso De Geomecánica Básica
Páginas: 42 (10384 palabras)
Publicado: 9 de agosto de 2012
esfuerzos 2d
Convención de signos
• Esfuerzos normales : Compresión positiva
Tracción negativa
• Esfuerzos de corte : Antihorario positivos
Horario negativos
Para realizar cálculo analítico (fórmulas), los valores de τ cambian su signo, es decir, horario positivos y antihorario negativos.
Esfuerzosen un plano
Conocidos σx, σy y τxy, se puede determinar la magnitud de los esfuerzos normales y de corte que actúan sobre un plano que tiene una orientación, medida desde la horizontal y positiva en sentido antihorario, de (90 + θ)º. Se debe consignar, que la orientación del plano, es distinta a la orientación en la que actúa el esfuerzo, claramente, el desfase son 90º, ya que el esfuerzoactúa en forma normal.
Esfuerzos principales
Los esfuerzos principales representan una condición particular del estado tensional al cual está sometido un cuerpo, esto es, cuando los esfuerzos de corte son nulos. Despejando de Ecuación 4 el valor de θ, las orientaciones θ1 y θ3 en las que actúan los esfuerzos principales mayor y menor respectivamente, son:Por último, las magnitudes de los esfuerzos principales son:
Ejemplo de aplicación 1
Considerar para este ejemplo un cuerpo con forma similar a un rombo, sometido a un campo de esfuerzos tal como se muestra en Figura 2. Todos los valores de esfuerzos tienen como unidad MPa.
Se pide encontrar, mediante Circulo de Mohr (CM):
1. Esfuerzosactuantes sobre los ejes X e Y.
2. Esfuerzos principales y sus orientaciones.
3. Esfuerzos para un plano inclinado 40º desde la horizontal.
4. Realizar puntos 1, 2 y 3 mediante un estudio analítico.
En la figura se observan los pares ordenados de esfuerzos: (8,2) y (4,-2).
Paso 1
Se grafican los puntos antes mencionados
[pic]
Paso 2
Se traza diámetro a partir de puntos anteriores.[pic]
Paso 3
[pic]Se dibuja CM con el diámetro trazado. Los esfuerzos normal y de corte (8,2) actúan en plano inclinado en (50º + 90º). Se dibuja línea con esta orientación desde punto (8,2) hasta la intercepción con CM. Se puede realizar lo mismo desde punto (4,-2), y trazando una línea con orientación ((50º+90º)+90º). La intercepción se denomina polo u Op.
Paso 4
A partir del polo,se puede determinar la orientación de los esfuerzos actuantes en cualquier plano. σx, actúa en un plano vertical y σy lo hace en uno horizontal, por lo tanto si se trazan estas líneas desde Op, se pueden obtener estos valores, leyendo directamente.
Respuesta 1
En CM se obtienen los valores:
Tabla 1
|σx |σy |τxy |τyx |
|7,62 |4,38 |-2,31 |2,31 |Respuesta 2
La magnitud de los esfuerzos principales, se obtiene de la condición de inexistencia de esfuerzos de corte. Por lo tanto, desde el polo se dibujan las líneas hacia los puntos dentro de CM que cumplen esta condición, denominados σ1 y σ3, con σ1>σ3.
[pic]
Figura 7
Los valores obtenidos son:
Tabla 2
|σ1 |8.83 |
|σ3 |3.17 |
|θ1 |27º |
|θ3 |117º|
Se puede apreciar que la suma de los esfuerzos ortogonales es siempre igual a 12 (σ1 + σ3; σx + σy; etc.).
Respuesta 3
De la misma forma que se obtuvieron los esfuerzos en los planos horizontal y vertical, se realiza para un plano inclinado 40º.
Figura 8
Los valores de los esfuerzos normal y de corte, son leídos directamente de las proyecciones de la intercepción de lalínea trazada desde el polo, con el círculo.
Los resultados son:
Tabla 3
|σθ |3,44 |
|τθ |-1,20 |
Respuesta 4: ”Una analogía analítica”
Respuesta 1:
Se requiere encontrar los valores de σx, σy y τxy, a partir del estado tensional para el ángulo θ. Para realizar este cálculo, se ocupan Ecuaciones 2, 3 y 4. Por simplicidad, a la semisuma de los esfuerzos en los ejes x...
Convención de signos
• Esfuerzos normales : Compresión positiva
Tracción negativa
• Esfuerzos de corte : Antihorario positivos
Horario negativos
Para realizar cálculo analítico (fórmulas), los valores de τ cambian su signo, es decir, horario positivos y antihorario negativos.
Esfuerzosen un plano
Conocidos σx, σy y τxy, se puede determinar la magnitud de los esfuerzos normales y de corte que actúan sobre un plano que tiene una orientación, medida desde la horizontal y positiva en sentido antihorario, de (90 + θ)º. Se debe consignar, que la orientación del plano, es distinta a la orientación en la que actúa el esfuerzo, claramente, el desfase son 90º, ya que el esfuerzoactúa en forma normal.
Esfuerzos principales
Los esfuerzos principales representan una condición particular del estado tensional al cual está sometido un cuerpo, esto es, cuando los esfuerzos de corte son nulos. Despejando de Ecuación 4 el valor de θ, las orientaciones θ1 y θ3 en las que actúan los esfuerzos principales mayor y menor respectivamente, son:Por último, las magnitudes de los esfuerzos principales son:
Ejemplo de aplicación 1
Considerar para este ejemplo un cuerpo con forma similar a un rombo, sometido a un campo de esfuerzos tal como se muestra en Figura 2. Todos los valores de esfuerzos tienen como unidad MPa.
Se pide encontrar, mediante Circulo de Mohr (CM):
1. Esfuerzosactuantes sobre los ejes X e Y.
2. Esfuerzos principales y sus orientaciones.
3. Esfuerzos para un plano inclinado 40º desde la horizontal.
4. Realizar puntos 1, 2 y 3 mediante un estudio analítico.
En la figura se observan los pares ordenados de esfuerzos: (8,2) y (4,-2).
Paso 1
Se grafican los puntos antes mencionados
[pic]
Paso 2
Se traza diámetro a partir de puntos anteriores.[pic]
Paso 3
[pic]Se dibuja CM con el diámetro trazado. Los esfuerzos normal y de corte (8,2) actúan en plano inclinado en (50º + 90º). Se dibuja línea con esta orientación desde punto (8,2) hasta la intercepción con CM. Se puede realizar lo mismo desde punto (4,-2), y trazando una línea con orientación ((50º+90º)+90º). La intercepción se denomina polo u Op.
Paso 4
A partir del polo,se puede determinar la orientación de los esfuerzos actuantes en cualquier plano. σx, actúa en un plano vertical y σy lo hace en uno horizontal, por lo tanto si se trazan estas líneas desde Op, se pueden obtener estos valores, leyendo directamente.
Respuesta 1
En CM se obtienen los valores:
Tabla 1
|σx |σy |τxy |τyx |
|7,62 |4,38 |-2,31 |2,31 |Respuesta 2
La magnitud de los esfuerzos principales, se obtiene de la condición de inexistencia de esfuerzos de corte. Por lo tanto, desde el polo se dibujan las líneas hacia los puntos dentro de CM que cumplen esta condición, denominados σ1 y σ3, con σ1>σ3.
[pic]
Figura 7
Los valores obtenidos son:
Tabla 2
|σ1 |8.83 |
|σ3 |3.17 |
|θ1 |27º |
|θ3 |117º|
Se puede apreciar que la suma de los esfuerzos ortogonales es siempre igual a 12 (σ1 + σ3; σx + σy; etc.).
Respuesta 3
De la misma forma que se obtuvieron los esfuerzos en los planos horizontal y vertical, se realiza para un plano inclinado 40º.
Figura 8
Los valores de los esfuerzos normal y de corte, son leídos directamente de las proyecciones de la intercepción de lalínea trazada desde el polo, con el círculo.
Los resultados son:
Tabla 3
|σθ |3,44 |
|τθ |-1,20 |
Respuesta 4: ”Una analogía analítica”
Respuesta 1:
Se requiere encontrar los valores de σx, σy y τxy, a partir del estado tensional para el ángulo θ. Para realizar este cálculo, se ocupan Ecuaciones 2, 3 y 4. Por simplicidad, a la semisuma de los esfuerzos en los ejes x...
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