curso de geometría fractal

Resumen del curso de “Introducción a la Geometría Fractal”
El mismo fue dictado en el año 2003 a través del sitio www.fractaltec.org y constó de 5 clases y
varias charlas en los foros de debate: http://www.fractaltec.org/local-cgi/cutecast/cutecast.pl
Recomiendo a todos aquellos que lean este texto por primera vez y les surjan dudas, que hagan
todas sus consultas en dicho foro.

ComenzandoPara introducirnos de lleno en el mundo de los Fractales, lo primero que quiero
contarles son las palabras que dan inicio al libro “Fractals Everywhere” (“Fractales en
todos Lados”) de Michael F. Barnsley, uno de los pioneros y más importantes
divulgadores e investigadores del tema:
“La geometría Fractal cambiará a fondo su visión de las cosas.
Seguir leyendo es peligroso. Se arriesga aperder definitivamente
la imagen inofensiva que tiene de nubes, bosques, galaxias, hojas,
plumas, flores, rocas, montañas, tapices, y de muchas otras cosas.
Jamás volverá a recuperar las interpretaciones de todos estos
objetos que hasta ahora le eran familiares."
Creen que Michael exageraba? En realidad esa pregunta no la podrán contestar hasta
que no hayan finalizado este curso. Una de mismetas es mostrarles que ese párrafo
solo refleja la realidad y la visión de miles de científicos sin importar en que
especialidad desarrollen sus actividades. Esta visión se incrementará más aún en todos
aquellos que decidan utilizar programas de computadoras (Fractint por ejemplo) para
comenzar a “navegar”, crear y descubrir infinitas y hermosas estructuras
matemáticas a las cuales llamamosFractales.
Una importante advertencia que siempre me gusta mencionar al comienzo de toda
charla es la de tener un obsesivo cuidado de no ver estructuras fractales donde no
las hay. Uno de los objetivos de este curso es el de reconocer tales sistemas, lo cual
profundizaremos cuando veamos más en detalle la Teoría del Caos. Como decía
Barnsley en su impactante párrafo, la imagen de los objetosnaturales que nos rodean
cambiará de manera contundente, así que la advertencia queda hecha.

Un poco de historia
Los Fractales son los objetos matemáticos que constituyen la Geometría de la
Teoría del Caos, aunque es importante destacar que no todos los fractales son
caóticos como veremos más adelante. Los objetos fractales fueron creados mucho
antes de haberse desarrollado formalmente laGeometría Fractal o la Teoría del Caos.
De hecho, se pueden encontrar y reconocer figuras con características fractales como
la del triángulo de Sierpinski (figura 1) en grabados de tela de hace varias décadas
atrás, hasta en los años de 1400 se hallaron grabados japoneses con estas
estructuras.

Figura 1 – El triángulo de Sierpinski

El mismo lo estudiaremos con detalle desde el punto devista puramente
matemático y crearemos los algoritmos para generarlo en clases
posteriores.

Antes de que Newton, Leibniz y colaboradores crearan en el siglo XVII lo que hoy
conocemos como Calculus y estudiamos en la facultad como Cálculo, Análisis
Matemático o Cálculo Infinitesimal, se conocían funciones con enormes irregularidades
y discontinuidades, pero los científicos de aquella épocasupusieron que esas mismas
funciones discontinuas eran muy escasas y que raramente surgirían en sistemas
naturales, por lo que las consideraban excepciones a la matemática tradicional y
simplemente las dejaban de lado, o si no las ignoraban realizaban aproximaciones a
través de redondeos, lo cual aún hoy en día se continua haciendo con éxito en
diferentes sistemas, pero dichos redondeos sevuelven peligrosos en sistemas con una
dinámica caótica.
Un grupo de matemáticos comenzó a darse cuenta que en la naturaleza se daba muy
seguido el fenómeno de irregularidades y que no eran excepciones como se suponía.
Los primeros que comenzaron a demostrar teóricamente esta problemática fueron
Cantor (con su famoso y casi místico conjunto de Cantor – Figura 2) y Peano. Hasta
llegar a los años...