Curso de variable compleja

CAP´TULO 0 I

N´ meros complejos: u conocimientos previos.
´ 0.1 INTRODUCCION Recopilamos en este cap´tulo las propiedades b´ sicas de los n´ meros complejos, ı a u ya vistas a lo largo de cursos anteriores. Como libros de consulta pueden usarse, por ejemplo, Apostol, T.M.: An´ lisis Matem´ tico (segunda edici´ n). Revert´ , a a o e Barcelona (1991) (algunas explicaciones est´ n m´ sdetalladas en Apostol, T.M.: a a Calculus, vol. I (segunda edici´ n). Revert´ , Barcelona (1989)); para practicar con o e operaciones y representaciones gr´ ficas, Spiegel, M.R.: Variable compleja. Mca Graw Hill (colecci´ n Schaum) (1971). o Comencemos recordando que se defin´a ı C = {(a, b) : a, b ∈ R} con las operaciones SUMA: PRODUCTO: (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad)Obs´ rvese que, como conjunto, C es en realidad R2 . La novedad (y lo interee sante como veremos) est´ en introducir el producto, pues se comprueba f´ cilmente a a que C con las dos operaciones anteriores se obtiene un cuerpo conmutativo, con (0, 0) y (1, 0) como elementos neutros respectivos. Adem´ s, el cuerpo C contiene al cuerpo R. Precisemos esta afirmaci´ n: a o - La aplicaci´ n a ∈ R −→ (a,0) ∈ C es un homomorfismo inyectivo de o cuerpos. Esta identificaci´ n de R como subcuerpo de C nos permite usar la notaci´ n o o simplificada a = (a, 0), y observando que todo elemento (a, b) ∈ C se puede escribir como (a, b) = (a, 0).(1, 0) + (b, 0)(0, 1), si denotamos i = (0, 1), con esta nueva nomenclatura, tenemos (a, b) = a + ib. 1

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Numeros complejos: conocimientos previos. ´

Estaforma de escribir un n´ mero complejo (forma bin´ mica) hace m´ s facil u o a la multiplicaci´ n. En efecto, teniendo en cuenta que o i 2 = (0, 1).(0, 1) = (−1, 0) = −1 comprobamos que (a, b).(c, d) = (ac − bd, bc + ad) se traduce en (a + ib).(c + id) = ac − bd + i(bc + ad), donde para hacer esta operaci´ n s´ lo hace falta recordar las reglas habituales de la o o multiplicaci´ n y lasidentificaciones anteriores. o Cuando se utiliza una sola letra para denotar un n´ mero complejo, se suele u elegir la z, y si z = a + ib con a, b ∈ R, los n´ meros a, b se llaman partes real e u imaginaria de z, respectivamente. Escribiremos entonces a = e z, b = m z. Desde el punto de vista algebraico, la principal ventaja de C es que soluciona el defecto algebraico de R de no ser algebraicamente cerrado, esdecir, de que existan ecuaciones polin´ micas con coeficientes reales que no tienen soluciones o reales. El ejemplo m´ s aparente es x 2 + 1 = 0. Esto ya no va a ocurrir en C. a ´ 0.2 PROPIEDADES ALGEBRAICAS DE LOS NUMEROS COMPLEJOS Recogiendo de manera abreviada lo que acabamos de exponer, resulta: 1. C es un espacio vectorial sobre R de dimensi´ n 2 ({1, i} es la base can´ nica). o o 2. C es uncuerpo conmutativo que contiene un subcuerpo isomorfo a R. 3. Existe un elemento de C soluci´ n de z 2 + 1 (precisamente i es soluci´ n). o o Pero, mucho m´ s general, C es algebraicamente cerrado, i.e., todo polinomio a con coeficientes complejos tiene una soluci´ n en C. o Este hecho no es f´ cil de demostrar con argumentos elementales pero, m´ s a a adelante, ser´ una consecuencia sencilla del an´lisis que desarrollaremos sobre C. a a Adem´ s, C es el menor cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a R. a Con mayor precisi´ n, si un cuerpo algebraicamente cerrado contiene un subcuerpo o isomorfo a R, debe contener un subcuerpo isomorfo a C. 4. Aplicaci´ n conjugaci´ n. La aplicaci´ n de C en C definida por o o o z = a + ib −→ z = a − ib

Numeros complejos: conocimientos previos. ´tiene las siguientes propiedades: 4.1. Es un isomorfismo de cuerpo (z + w = z + w, zw = zw). 4.2. Es una proyecci´ n (z = z). o 4.3. Deja fijo el cuerpo R (z = z si y solo si z ∈ R). 5. Aplicaci´ n m´ dulo. La aplicaci´ n de C en R+ definida por o o o √ z = a + ib −→ |z| = + zz = + a 2 + b2 tiene las siguientes propiedades: 5.1. |z| ≥ 0, |z| = 0 ⇔ z = 0. 5.2. |z + w| ≤ |z| + |w| (desigualdad...