Curso Edo

1

Unidad. Introducción a las ecuaciones diferenciales

Notation 1 Usualmente en la literatura se presentan las funciones de una variable junto con sus derivadas de la siguiente forma f (x) = 3x2 + 5x f 0 (x) = 6x + 5 la nomenclatura empleada en este curso para dichas funciones es y dy dx d2 y dx2 = 3x2 + 5x

= y = 6x + 5 = y 00 = 6

donde y se denomina la variable dependiente y x lavariable independiente.

1.1

Noción del problema de las ecuaciones diferenciales
d2 y dy =0 +2 dx2 dx

Considérese la siguiente ecuación diferencial ordinaria x

el problema es: dada la anterior ecuación, obtener una función y = y(x) que la reduzca a una identidad. Probemos por ejemplo la función y = 2 + 3x 1 x(6x
3

) + 2( 3x

2

) = 0 0 = 0

observamos luego, que la funciónresuelve la ecuación diferencial y por lo tanto nuestro problema está resuelto (hasta cierto punto). A la función y = 2 + 3x 1 se le denomina solución de la ecuación diferencial. De…nition 2 Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial.

1.2

Clasi…cación de las EDsegún el tipo

De…nition 3 Si la ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria (EDO).

1

Example 4 dy 2y dx y)dx 2ydy du dw dx dx = = 4 0

(x

= u

De…nition 5 Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variablesdependientes de dos o más variables independientes se llaman ecuaciones diferenciales parciales. Example 6 @u @y @u xc + @y @2u @x2 = = u = @2u @t2 2 @u @t @v @y

1.3

Clasi…cación de las ED según el orden

El orden de la más alta derivada de una ecuación diferencial se llama el orden de la ecuación. Example 7 dy d2 y + 5( )3 4y = 0 (segundo orden) dx2 dx x2 dy + ydx = 0 (primer orden) @4u @2u a2 4 = 0(cuarto orden) @x @t2 Exercise 8 Clasi…que las siguientes ecuaciones diferenciales según tipo (ordinaria o parcial) y orden 1. k @ u = @x2 2. xy 0 3.
@2u @x2
2

@u @t

y = x3 y 4 +
@2u @y 2

=0

4. x(6xy + 5)dx + (2x3 + 3y)dy = 0
@z 5. y @x @z x @y = 0

6.

dT dt

= k(T

T0 )
d2 y dx2

dy 7. xy( dx )3 +

=x 2

1.4

Clasi…cación según la linealidad o no linealidad
dny + an dxn dn 1 y dy + :::: + a1 (x) + a0 (x)y = g(x) dxn 1 dx

Se dice que una ecuación diferencial es lineal si tiene la forma an (x)
1 (x)

las ecuaciones diferenciales lineales cumplen dos propiedades: i) la variable dependiente y junto con sus derivadas son de primer grado, es decir, la potencia de cada término en y es 1. ii) cada coe…ciente uno de los coe…cientes ai (x); i = 0; :::; n,dependen sólo de la variable independiente x. Una ecuación que no es lineal se dice simplemente no lineal. Example 9 xdy + ydx y 2y 0 + y dy d2 y d3 y + 5y x3 3 + x2 2 + 3x dx dx dx yy 00 2y 0 d3 y + y2 dx3
00

= =

0 (lineal) 0 (lineal)

= ex (lineal) = x (no lineal) = 0 (no lineal)

Exercise 10 Clasi…que las siguientes ecuaciones diferenciales de acuerdo a su linealidad
d dy 1. x2 dxy+ 2 dx = 2x 2
2

2. y 000

3y 00 + 4y 0

4xy 2 = 3x

3. y 00 + (y 0 )2 = 0 p 4. y 0 = 2 y 5. y 0
1 xy

=1 xy)dy = 0

6. (x + y 2 )dx + (x2 7. y 00 + y = tan x

dy dy 8. ( dx )3 + 2x dx = 2y + 1

9. y = xy 0 +

1 00 x2 y

10. x2 y 00 + yy 0 + 6x = 0 Tarea 1. Clasi…que las siguientes ecuaciones diferenciales por tipo, orden y por linealidad. 3

1. (1
d 2. x dxy 3
3

x)y00

4xy 0 + 5y = cos x

dy 2( dx )4 + y = 0

3. yy 0 + 2y = 1 + x2 4. x2 dy + (y 5. x3 y (4) 6. 7. 8.
d y dx2 dy dx d2 r dt2
2

xy

xex )dx = 0 3y = 0

x2 y 00 + 4xy 0

+ 9y = sin y q d2 = 1 + ( dxy )2 2 =
k r2

9. (sin x)y 000 10. (1

(cos x)y 0 = 2

y 2 )dx + xdy = 0

1.5

Solución de una Ecuación Diferenfencial Ordinaria

De…nition 11 Se dice que una función f...