curso intermedio de probabilidad

Curso intermedio de
PROBABILIDAD

Luis Rinc´n
o
Departamento de Matem´ticas
a
Facultad de Ciencias UNAM
Circuito Exterior de CU
04510 M´xico DF
e
Versi´n: Octubre 2007
o

Una versi´n actualizada del presente texto se encuentra disponible en formato
o
electr´nico en la direcci´n http://www.matematicas.unam.mx/lars
o
o

ii

Contenido

1. Espacios de probabilidad
1.1.Espacios de probabilidad .
1.2. σ-´lgebras . . . . . . . . .
a
1.3. Medidas de probabilidad .
1.4. Independencia de eventos
1.5. Lema de Borel-Cantelli . .
1.6. Ejercicios . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

2. Variables aleatorias
2.1. Variables aleatorias . . . . . .
2.2. Funci´n de distribuci´n . . .
o
o
2.3. Tipos de variables aleatorias .
2.4. Integral deRiemann-Stieltjes
2.5. Caracter´
ısticas num´ricas . .
e
2.6. Distribuciones discretas . . .
2.7. Distribuciones continuas . . .
2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . .
3. Vectores aleatorios
3.1. Vectores aleatorios . . .
3.2. Distribuci´n conjunta .
o
3.3. Densidad conjunta . . .
3.4. Distribuci´n marginal .
o
3.5. Distribuci´n condicional
o

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
..
.

iii

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

1
1
3
20
33
37
42

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

57
57
68
74
81
84
94
101
108

.
.
.
.
.

141
. 141
. 144
. 149
. 156
. 160

.
.
.
.
.
.

3.6. Independencia .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Esperanza de una funci´n de un vector aleatorio
o
3.8. Covarianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Coeficiente de correlaci´n . . . . . . . . . . . . .
o
3.10. Esperanza y varianza de un vector aleatorio . . .
3.11. Distribuciones multivariadas discretas . . . . . .
3.12. Distribuciones multivariadas continuas . . . . . .
3.13.Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. Esperanza condicional
4.1. Esperanza condicional
4.2. Esperanza condicional:
4.3. Algunas propiedades .
4.4. Varianza condicional .
4.5. Ejercicios . . . . . . .

. . . . . . . .
caso discreto
. . . . . . . .
. . . . . . . .
. . . . . . . .

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
..
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

163
168
171
173
179
181
183
186

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

213
214
215
220
223
2265. Transformaciones
229
5.1. Transformaci´n de una variable aleatoria . . . . . . . . . . . . 229
o
5.2. Transformaci´n de un vector aleatorio . . . . . . . . . . . . . 235
o
5.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
6. Dist. muestrales y estad´
ısticas de orden
261
6.1. Distribuciones muestrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
6.2....