curso

PARTE I: CONJUNTOS Y NÚMEROS REALES
1. BREVE INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE CONJUNTOS
Competencia de la unidad
Aplicar la terminología de la teoría de conjuntos y de las operaciones entre ellos.

1.1 Conceptos básicos sobre Conjuntos
En matemáticas, el concepto de conjunto es una forma adecuada de considerar una colección de objetos. Definimos los objetos o miembros de un conjunto como loselementos de ese conjunto. En lo sucesivo representaremos a los conjuntos con letras mayúsculas: A, B, C, etc., y a sus elementos con letras minúsculas: a, b, c, etc.
Para especificar a un conjunto usaremos dos formas básicas:
1. Forma tabular. Consiste en enlistar entre llaves a todos los elementos del conjunto separándolos entre sí mediante comas.
2. Forma descriptiva. Consiste en expresarentre llaves una propiedad que defina a los elementos del conjunto y sólo a ellos, de manera que no haya duda respecto a si un objeto forma o no parte de la colección.
Ejemplos:
1. El conjunto de las vocales del alfabeto español
Forma tabular: V = {a, e, i, o, u}
Forma descriptiva: V = {Vocales del alfabeto español}
2. El conjunto de números: 3, 5, 7, 9.
Forma tabular: A = {3, 5,7, 9}
Forma descriptiva: A = {Números enteros impares comprendidos entre 1 y 10}
Generalmente se utiliza una letra, como por ejemplo x, para designar a un elemento no especificado de un conjunto y una pequeña línea vertical (│) que se lee: “tal que” o “tales que”. Así, el conjunto del ejemplo 2 se puede escribir como:
A = {x│x es impar, 1 < x < 10}
Lo anterior se lee como: “A es elconjunto de los elementos tales que cada elemento es un número impar, comprendido entre 1 y 10}”
En la teoría de conjuntos es útil considerar a dos conjuntos “especiales”, los cuales se definen a continuación.
DEFINICIÓN
El conjunto que carece totalmente de elementos se llama conjunto vacío o conjunto nulo y se representa con la letra griega (léase “fi”) o también {}.

Precaución: y {} sonrepresentaciones para el mismo conjunto y no se usan al mismo tiempo. Así, {} no es conjunto nulo (¿Por qué?).
El conjunto de números enteros comprendidos entre 0 y 1 es un conjunto vacío.

DEFINICIÓN
El conjunto de todos los elementos considerados en un problema dado se llama conjunto universal o universo y se denota con U o con la letra griega omega, .

El conjunto universal no es único. Porejemplo, si estamos interesados en un censo en la República Mexicana, nuestro universo sería el conjunto de todos los habitantes de la república; pero si estamos interesados en la preferencia de los electores, nuestro universo sería el conjunto de todos los ciudadanos mayores de 18 años con credencial para votar.

Conjuntos y relaciones

En la teoría de conjuntos se usan frecuentemente lassiguientes relaciones:

1. Relación de pertenencia. Se utiliza para indicar si un objeto pertenece o no a un conjunto dado. Se representa y se lee “pertenece a” o “es elemento de”. Para indicar que un objeto no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo . Estos símbolos se utilizan exclusivamente entre un elemento y un conjunto; nunca entre dos elementos ni entre dos conjuntos. Para los conjuntosdados anteriormente podemos expresar, por ejemplo,

uV, mV, 7A, 4A
2. Relación de igualdad. Dos conjuntos A y B son iguales, escrito A = B, si y sólo si A y B tienen exactamente los mismos elementos. Es decir, cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A. Por ejemplo,

a) Si A = {Letras de la palabra “amor”} y B = {Letras de la palabra “roma”}, entoncesA = B.

b) Si C = {1, 2, 3, 4} y D = {1, 2, 3, 47, 5}, entonces C ≠ D.
c) Dados P = {x│x2 – 4x + 3 = 0} y Q = {Números impares positivos menores que 5}, entonces P = Q.
3. Relación de inclusión. Se dice un conjunto A está incluido en un conjunto B, escrito AB, si todo elemento de A es también elemento de B. Si por lo menos un elemento de A no pertenece a B, entonces el conjunto A no...