curvas cónicas

CURVAS CÓNICAS
OBJETIVOS
1. Analizar el tratamiento de las cónicas como curvas fundamentales en el dibujo técnico por su constante presencia.

2. Razonar que el fundamento geométrico de cada trazado se basa en la aplicación de las propiedades de cada curva cónica.

3. Descubrir la presencia de estos lugares geométricos en la vida cotidiana, en la ciencia, en la técnica y en el arte.

1DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN
Se denominan curvas cónicas a las diversas secciones producidas en una superficie cónica, de revolución, por un plano que no pasa por el vértice.

ELIPSE

Según sea la posición del plano secante ( π ) respecto del eje del cono, en relación con el ángulo del vértice, pueden establecerse tres tipos de secciones:

F

π

β

O
F1

π

V1
d1

π1

Lacircunferencia resulta ser un caso particular de
esta sección. Se contempla cuando el plano secante
es perpendicular al eje de la superficie cónica y no
pasa por el vértice ( β = 90°).

V2

O2

α

Elipse. Cuando el plano secante corta a todas las
generatrices de la superficie, en cuyo caso el plano
forma con el eje de la superficie cónica un ángulo
mayor que el semiángulo cónico: α < β .π

d2

π2

D2
P
O1

α β .

α

La curva resulta ser abierta con dos ramas y, por ende, con dos puntos impropios.

π

π
d

π1

β

π

V

O

Sección parabólica abatida.

d

F

2 ELEMENTOS DE UNA CÓNICA

V
D

• Eje o ejes de simetría. Recta o rectas imaginarias

en relación a las cuales una figura es simétrica.

α=β

• Centro. Punto de corte de los ejesde simetría y, por

F

tanto, punto del que equidistan los elementos de la
curva.

P

Eje

• Focos. Son los puntos notables de la cónica. Resul-

tan ser los puntos de tangencia de las esferas, inscritas al cono de revolución, con el plano secante que
origina la sección cónica ( Teorema de Dandelin).

HIPÉRBOLA

π

β

secante con el plano que contiene a la circunferencia
decontacto entre el cono y la esfera que, siendo tangente al plano de intersección ( π ), se encuentra inscrita en la superficie cónica.

π

α

V2
d2

O2
F2
V2

π1

• Excentricidad. Es la razón constante de distancias

d1
V1
F1

desde un punto P cualquiera de la curva al foco y a la
directriz correspondiente.
e = P F 2 / P D 2 < 1 ; ( 0 < e β

d2

d1

F1

En lahipérbola: e = P F 1 / P D 1 > 1 ; (1 < e < ∞) .
En la parábola:

e = P F / P D = 1.

Sección hiperbólica abatida.

115

3 ELIPSE
3.1 Definición y parámetros.

A

Eje mayor

V1
F1

Esto es, para cualquier punto P de la curva,
la suma de sus radios vectores es constante:
PF1 + PF2 = V1V2 = 2a .
• Parámetros:

2a : longitud del eje mayor (V1V2 ).
2b : longitud del eje menor (AB).2c : distancia focal (F1 F2 ).

3.2 Propiedades fundamentales.

O

V2
F2

3.1

e = c / a.

2

A

Q

F2

V2

B

a
3.2

Determinación de los focos dados los ejes.

3

P

A

Q

P

1V 1

1V 2

V1

3 2

F1

1

O

F2

V2

V1

F1

3 2

1

O

F2

B
3.3.1

1V1

V1

F1

3 2

O

1

F2

B

R

1V 2

M

2
A

A

SB

M

3
A

N

P

P

• Parámetros: son las tres magnitudes que ca-

V1

V2

Construcción de la elipse por puntos, de acuerdo a su definición como lugar geométrico.

1

da punto P de la elipse con los focos F1 y F2 ;
verificándose que:
PF1 + PF2 = 2a .

V2

S

R

AF1 = AF2 = V1V2 / 2 = a

racterizan la curva elíptica. Los tres están ligados entre sí, al formarparte de los lados de un
triángulo rectángulo de vértices: el centro O de
la curva, el foco (F1 o F2 ) y un extremo del eje
menor (A o B), verificándose que: a 2 = b 2 + c 2.

O

( o < e < 1 ).

- Para e = 0 , la curva es una
circunferencia.
- Para e = 1 , se transforma en
un segmento ( V1V2 ).

A

c

F1

a

menor AB a 2b . Por tanto, según la definición
de elipse, desde...