Curvas de nivel y derivación

Curvas de nivel. Funciones implicitas. Derivacion

1
1.1

Curvas de nivel
Definicion. Interpretacion economica

Dada una funcion f(x1 , . . . , xn ) y un numero α llamamos curva de nivel α, alconjunto de todos los puntos del dominio de f que cumplen f(x1 , . . . , xn ) = α.
Para las funciones con una interpretacion economica, las curvas de nivel
reciben nombres distintos en funcion dedicha interpretacion. Asi, cuando f es
una funcion de utilidad, las curvas de nivel representan las combinaciones de
bienes consumidos que proporcionan al consumidor la misma utilidad, de modo
quele es indiferente una u otra, por lo que se llaman curvas de indiferencia. Si f
es una funcion de produccion, las curvas de nivel representan las combinaciones
de factores de produccion que permitenproducir la misma cantidad de producto,
por lo que se llaman isocuantas.

1.2

Curvas de nivel para funciones de dos variables. Ejemplo

Es posible representar graficamente una curva de nivelpara una funcion de dos
variables. Para ello se puede utilizar cualquier software matematico. Asi por
ejemplo si tenemos la funcion f(x, y) = y3 + x2 la curva de nivel α = 5, cuya
ecuacion sera y3 +x2 = 5 se muestra en la figura siguiente:

Figure 1:

1

Para la representacion anterior hemos utilizado WolframAlpha.

1.3

Ejemplo

Sea la funcion de produccion
P (K, L) = K 1/2 L1/2Suponemos que estamos utilizando 4 unidades de K y 16 unidades de L.
• Escribir la ecuacion de la isocuanta para el nivel de produccion actual.
Interpretacion economica
Comenzamos calculando P (4,16) = 8. Por tanto la ecuacion es
K 1/2 L1/2 = 8
Su interpretacion economica es la siguiente: la curva de nivel representa las
combinaciones de factores de produccion que suministran una produccionde 8 unidades.
• Representacion grafica.
Utilizando WolframAlpha se obtiene:

Figure 2:
• Si aumentamos en tres unidades la utilizacion del factor K, obten cuantas
unidades de L habra que...