Curvas de nivel y mapas de contorno.

Curvas de nivel y mapas de contorno.
-Definición.
La intersección de una superficie z = f (x, y) con un plano paralelo al plano xy, dado por z=k donde k es una constante, es una curva plana. Lacurva obtenida por todos los puntos donde f (x, y) = k recibe el nombre de curva de nivel. Cada punto en una curva de nivel dada esta a la misma altura (profundidad) de la superficie del plano xy.Superficie z = f (x, y) y plano z=k

Curva de nivel

Un mapa de contorno (o diagrama de curvas de nivel) se compone de varias curvas de nivel, dadas por f (x, y) = k, proyectadas en el plano xy.Cuando la superficie dada es un plano paralelo al plano formado por xy el mapa de contorno formado será el plano completo, mientras que si la superficie es perpendicular a xy, entonces el mapa decontorno va a consistir de una línea donde la superficie se interseca con xy.
Sin embargo cuando nuestra superficie tiene una o más inclinaciones respecto al plano xy, las intersecciones serán líneaspara los distintos valores de k y el mapa de contorno estará formado por un conjunto de líneas paralelas.
Por lo anterior a medida que k incrementa, la altura de la intersección con la superficie z =f (x, y) también aumenta. Es así como el mapa de contorno nos da una idea de la forma que toma la superficie a medida que la altura o la profundidad de dicha superficie cambian.

Mapa de contorno-Ejemplos.
1. Contruya las curvas de nivel para f( x,y) = x2+y2+2 cuando k = 2,3,4,5 y 6.
-Solución:
Podemos ver que f( x,y) = k es de la forma x2+y2+2 = k, al simplificar obtenemos:
x2+y2 =k-2

Si tenemos que k=2, entonces x2+y2=0, lo cual se cumple solamente si ( x,y)= ( 0,0). Siguiendo este mismo procedimiento para k = 3, 4, 5 y 6 tenemos:
k = 3: |
| x2+y2 = 1 |
|        |
| k = 5: |
| x2+y2 = 3 |
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k = 4: |
| x2+y2 = 2 |
| |
| k = 6: |
| x2+y2 = 4 |
|

Asi podemos ver que, por ejemplo, cuando k =6 la curva de nivel está dada por...