Curvas de nivel

Matemáticas 1 1
Elena Álvarez Sáiz

EJERCICIOS RESUELTOS:

Funciones de varias variables

Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación Universidad de Cantabria

Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Ejercicios: Func. varias variables

1

Dada las superficies (1)

z = x 2 + y2

(2)

y =

x2 z2 − 4 9

Se pide: (a) Representar las trazas (b) Obtener lascurvas de nivel (c) Realizar un bosquejo de su gráfica Se trata de un paraboloide

Al cortar por planos x=cte: Parábolas z = cte + y 2

2

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Ingeniería de Telecomunicación Fundamentos Matemáticos I

Al cortar por planos y=cte: Parábolas z = x 2 + cte

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S

3

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Ejercicios: Func. varias variables

Al cortar por planos z=cte (curvas de nivel): Circunferencias Cte = x 2 + y 2

(Cte > 0 )

4

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(2) Se trata de un hiperboloide

Curvas x=cte: Parábolas y = Cte −

z2 9

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S

5

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Ejercicios: Func. varias variables

Curvas y=cte: Hipérbolas Cte =

x 2 z2 − 4 9

Curvas: z=cte: Parábolas y =

x2 − Cte 4

2

x +y

Representar el dominio de la función f ( x, y ) =

x 2 − y 2 e x −y

6

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El dominio es el conjunto de los puntos Domf = x=y, gráficamente

{( x, y ) ∈ »2 / ( x . − y )( x + y ) ≥ 0,

x ≠ y}

es decir, los puntos del plano comprendidos entre las rectas x=y, x=-y salvo los de la recta

3

Se considera la función f ( x , y ) = e xy +
fy ( 2, −1 ) , fxx ( 0,1 ) , fxy ( 2, −1 ) .

x ∂f ∂f ∂2 f ∂2 f + sen ( ( 2x + 3y) π ) . Calcular , , , , fx ( 0,1 ) , y ∂x ∂y ∂x 2 ∂x ∂y

Solución: ∂f 1 = ye xy + + 2π cos ( ( 2x + 3y ) π ) ∂x y ∂f x = xe xy − + 3π cos ( ( 2x + 3y ) π ) ∂y y2 ∂2 f ∂x
2

= y 2e xy − ( 2π ) sen ( ( 2x + 3y ) π )

2

1 ∂2 f = e xy + xye xy − − 6π2sen ( ( 2x + 3y ) π ) 2 ∂x ∂y y

fx ( 0,1 ) = 1 + 1 + 2π cos ( 3π ) = 2 − 2π
Dada la función

4

 xy 4 − x 4y    f (x , y ) =  x 3+ y 3    0    a) Hallar fx ( 0, 0 ) y fy ( 0, 0 ) b) Calcule fx ( x , y ) y fy ( x , y ) c) Es fxy ( 0, 0 ) = fyx ( 0, 0 ) ?

x ≠ −y x = −y

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S

7

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Ejercicios: Func. varias variables

Solución: a ) fx (0, 0) = lim f (0 + h, 0) − f (0, 0) h →0 h

(0 + h )04 − (0 + h )4 0 = lim
h →0

(0+ h )3 + 03 h

−0 = lim

0

h →0 h 4

=0

fy (0, 0) = lim

f (0, 0 + h ) − f (0, 0) h →0 h 0(0 + h )4 − 04 (0 + h ) = lim = lim
h →0

0

03 + (0 + h )3 h =0

−0

h →0 h 4

b) Supongamos ahora que ( x, y ) con x ≠ −y , entonces

fx = fy =

(y 4 − 4x 3y )(x 3 + y 3 ) − (xy 4 − x 4y )(3x 2 ) (x 3 + y 3 )2 (4xy 3 − x 4 )(x 3 + y 3 ) − (xy 4 − x 4y )(3y 2 ) (x 3 + y 3 )2En los puntos ( a, −a ) se tendrá: f (a + h, −a ) − f (a, −a ) h

fx (a, −a ) = lim

h→0

8

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= lim

(a + h )( −a ) − (a + h ) ( −a ) −0 3 3 a + h ) + ( −a ) (
h
5

4

4

h →0

= lim

(a + h )( −a ) − (a + h ) ( −a ) 3 3  h →0 h  ( a + h ) + (−a ) 
 

4

4

Como el numerador tiende a 2a y el denominador a cero este límite no existe para a ≠ 0 .

c)

 ∂  ∂f    (0, 0)    ∂x  ∂y  
 ∂  ∂f    (0, 0) = ∂fx (0, 0) = lim fx (0, 0 + h ) − fx (0, 0)    ∂x  h →o ∂y   ∂y h ((0 + h )4 − 4.03.(o 3 + (0 + h )3 ) − (0(0 + h )4 − 04 (0 + h ))(0) = lim h →o (03 + (0 + h )3 )2 h h7 = lim =1 h →o h 7

 ∂  ∂f  ...