Curvas En El Espacio

Curvas en el espacio.
Toda curva en el espacio Rn se puede considerar como la imagen de una funci´n
o
vectorial
r : [a, b] → Rn , r(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)),
que recibe el nombre de parametrizaci´n de la curva. Los puntos r(a) y r(b) son los
o
extremos inicial y final de la curva. En el caso de que r(a) = r(b), diremos que la
curva es cerrada.
Decimos que dos funciones ϕ : [a, b] →Rn y ψ : [α, β ] → Rn son equivalentes si existe
una funci´n λ : [a, b] → [α, β ] biyectiva y continua tal que ψ ◦ λ = ϕ. La funci´n λ
o
o
recibe el nombre de cambio de par´metro.
a
Dos funciones equivalentes representan parametrizaciones distintas de la misma curva
y la funci´n λ representa un cambio en la rapidez del movimiento.
o
- Si λ es creciente, se dice que las parametrizaciones ϕy ψ conservan la orientaci´n
o
de la curva.
- Si λ es decreciente, las parametrizaciones ϕ y ψ invierten la orientaci´n de la curva.
o
Por ejemplo, las funciones
f1 (t) = (cos t, sen t),
f2 (t) = (cos t, − sen t),
f3 (t) = (cos 2t, sen 2t),

t ∈ [0, 2π ],
t ∈ [0, 2π ],
t ∈ [0, π ],

son equivalentes (todas ellas describen la circunferencia unidad), pero f1 y f3 hacen
que la curva serecorra en sentido antihorario, y f2 en sentido horario.
Las propiedades geom´tricas de una curva pueden describirse mediante las propiedae
des de la funci´n que la describe. Definimos a continuaci´n las principales operaciones
o
o
con funciones vectoriales y enunciamos sus propiedades b´sicas, las cuales se aplican
a
directamente al estudio de las curvas en el espacio.

Operaciones confunciones vectoriales.
Teniendo en cuenta el hecho de que toda funci´n vectorial f : R → Rn se puede
o
descomponer en n funciones escalares, se pueden definir las operaciones algebraicas
con dichas funciones de manera an´loga a las correspondientes con funciones escalares.
a
Dadas f, g : R → Rn y u : R → R, se definen
1. Suma: f + g : R → Rn como (f + g )(t) = f (t) + g (t).
2. Multiplicaci´npor una funci´n escalar: uf : R → Rn , como (uf )(t) = u(t) · f (t).
o
o
1

3. Producto escalar: f · g : R → Rn , como (f · g )(t) = f (t) · g (t).
4. Producto vectorial (para n = 3): f × g : R → Rn , como (f × g )(t) = f (t) × g (t).
5. Composici´n: f ◦ u : R → Rn , como (f ◦ u)(t) = f (u(t)).
o

L´
ımites y continuidad de funciones vectoriales.
Si f = (f1 , . . . , fn ) : R → Rn esuna funci´n vectorial, se define
o
l´ f (t) =
ım

t→t0

l´ f1 (t), . . . , l´ fn (t) .
ım
ım

t→t0

t→t0

Una funci´n vectorial es continua en t0 si l´ f (t) = f (t0 ).
o
ım
t→t0

Derivaci´n de funciones vectoriales.
o
Una funci´n vectorial f : R → Rn es derivable en t0 si existe
o
f (t0 ) = l´
ım

t→t0

f (t0 + h) − f (t0 )
.
h

Si f es derivable en t, entoncesdf
= f (t) = (f1 (t), . . . , fn (t)) .
dt
Dada una curva r(t) = (x1 (t), . . . , xn (t)), el vector r (t) (caso de ser no nulo) recibe
el nombre de vector tangente a la curva. Si r (t) = 0, no se define el vector tangente
(en este caso el m´vil est´ en reposo y puede haber un cambio brusco de direcci´n).
o
a
o
Denotamos por T (t) = r (t)/|r (t)| al vector tangente unitario.
Llamamostambi´n recta tangente a la curva r en P0 a la recta que pasa por el
e
punto P0 = r(t0 ) y tiene la direcci´n del vector r (t0 ). Su ecuaci´n es, por tanto,
o
o
f (λ) = r(t0 ) + λ · r (t0 ).
Observemos que el concepto de vector unitario tangente no depende de la parametrizaci´n, pues si ϕ y ψ son parametrizaciones distintas de la misma curva, entonces
o
ψ ◦ λ = ϕ, de modo que
ϕ (t) = ψ (λ(t)) ·λ (t) =⇒

ϕ (t)
ψ (λ(t)) · λ (t)
ψ (λ(t))
=
=±
,
|ϕ (t)|
|ψ (λ(t))| · |λ (t)|
|ψ (λ(t))|

donde el signo indica s´lo si las parametrizaciones mantienen o invierten la orientaci´n
o
o
de la curva.
2

Ejemplos.
1. Si r(t) = (x0 + at, y0 + bt, z0 + ct) es una recta, su recta tangente coincide con
la propia recta r.
2. Si |r(t) − C | = a es la ecuaci´n de una circunferencia...