Curvas maravillosas

Instituto Tecnológico de la paz
Cómo construir las gráficas y Curvas maravillosas


20/10/2013


Curso de cálculo diferencial
Responsable del curso: Pepe Farah de Anda


En el presente ensayo hablaré sobre dos textos que recién acabo de leer, “Curvas maravillosas” de A. I. Markushevich; y “Cómo construir las gráficas” de G. E. Shilov. El objetivo es plantear un poco del conocimientoque adquirí y lo que me parecieron estos textos.
Como podemos apreciar, ambos textos están estrechamente vinculados al cálculo diferencial y entre sí mismos. Ambos tratan de figuras, gráficas, y la parte de la matemática que se enfoca en estudiar las propiedades de las gráficas es el “cálculo diferencial”.
Primero empezaré por hablar sobre “Curvas maravillosas”, principalmente se hablan de unaspocas curvas, como lo son la elipse, la hipérbola, parábola, así como la lemniscata y un poco del cicloide. En todas las figuras se mencionan mucho sobre sus focos, qué pasaría si esto, si aquello. También se dan una serie de instrucciones, que tracemos nosotros mismos tal figura (principalmente con un lápiz y un hilo), y que tendrá x propiedades, nos dan fórmulas, que tales puntos sonproporcionales o que x rectas serán asíntotas. Desde mi punto de vista las fórmulas o propiedades de ciertos puntos que podríamos encontrar son un tanto confusas, fáciles de entender pero suelen confundir al lector pues son muchas y si bien hay imágenes, no para todas las hay.
Me interesó la parte en la cual se plantea el problema siguiente: “¿Qué forma debe tener un canal metálico bien pulido que une dospuntos fijos A y B para que sea mínimo el tiempo que invierte una bola metálica pulida en recorrerlo desde el punto A hasta el punto B?” sinceramente yo creería que la respuesta sería la línea recta, pues agarraría más velocidad y sería constante, recorrería menos trayecto, etc. Pero no es así, debe de ser que la parte A tenga una mayor pendiente, aunque sea corta y la parte B tenga una muy pocapendiente, así la bola agarrará mayor velocidad al bajar por la pendiente mayor y esa velocidad no se quitará puesto que la bola seguirá bajando pero sin una pendiente tan pronunciada.
Una propiedad característica de las tres curvas principales que se mencionan, (hipérbola, parábola y elipse) es que son secciones cónicas, o sea que depende de la forma en que cortes un cono con una sección plana,el resultado será una de estas curvas. Si se corta mediante un plano inclinado que no toque la base se obtiene una elipse. Si se corta un plano perpendicular a la base, tocándola sale una hipérbola, bueno sale la mitad, se tiene que poner otro cono o cilindro contrario y repetir el mismo proceso para que salga completa la figura. En cambio, si se corta de forma inclinada pasando por la base, seobtiene la parábola. Es una propiedad bastante interesante y que desconocía por completo.
Algo que me sorprendió de la lemniscata, fue cuando se hacía mención del número de focos que pudiera tener. Generalmente sólo se tiene dos, pero si tenía n focos podía salir hasta la figura de un pájaro o de una cabeza humana. Aunque no entendí muy bien cómo se podía seguir llamando lemniscata si ya no teníaesa forma, es por eso que me llevó a investigar más sobre ese tema, pues realmente me interesó. También sobre cómo deducir que tan estrecha será la cintura de ésta estuvo interesante. Pero con esto podemos ver la gran variedad de formas que tienen las lemniscatas de varios focos, y lo maravillosas que son.
Es una pena que no se mencionen más curvas, sólo las más básicas, y tampoco están todas suspropiedades, pero puedo entender que al ser tan extenso podría resultar en demasiada información un tanto innecesaria. Pero realmente me habría gustado que se mencionara algo sobre la catenaria, pues es una figura muy singular.
Ahora puedo empezar a hablar sobre “Cómo construir las gráficas”. Hoy en día, casi cualquier campo de trabajo ocupa gráficas, para representar estadísticas más que...