Curvas planas y ecuaciones parametricas

CURVAS PLANAS Y ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Hasta ahora hemos visto las curvas, como gráficas de ecuaciones rectangulares. Una función de la forma y = f (x) o de la forma x = g (y) determina una curva, donde una de las variables está dada explícitamente como función de la otra. Una ecuación de la forma F(x, y) = 0 también puede determinar una curva, en este caso cada variable está dadaimplícitamente como función de la otra.

Otro tipo importante de curva es la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano coordenado. La posición instantánea de esa partícula está dada por sus coordenadas x y y. Cuando la partícula se mueve en el plano, sus coordenadas cambian con el tiempo; para describir este movimiento, es necesario expresar sus coordenadas como funciones del tiempo t.|DEFINICIÓN DE CURVA PLANA |
|Una curva plana C es un conjunto de puntos P(x, y), cuyas coordenadas están en función de una tercera variable t, de tal manera que |
||
|x = f ( t ) y y = g ( t ), para t ( I |
| |
|donde f y g son continuas en el intervalo I.|
|Las ecuaciones x = f (t) y y = g (t) se denominan ecuaciones paramétricas y t se llama parámetro |





Por lo general, el parámetro se denota por t, porque con frecuencia representa el tiempo, pero podríamos usar otra letra distinta de t para simbolizarlo. Aunque en algunos casos, t no tengasignificado físico, aun así, resulta conveniente considerarlo como tiempo. El parámetro puede representar también la medida en radianes de ángulos, en cuyo caso se puede denotar con t o ( .
La definición de curva plana admite extensión al espacio tridimensional. Podemos representar una curva en el espacio por las tres ecuaciones:
x = f ( t ), y = g ( t ) y z = h ( t )




GRÁFICA DE UNACURVA PLANA


Para cada valor de t, las ecuaciones paramétricas determinan un punto (x, y), que al marcarlos y unirlos en el orden en que aparecen cuando t crece, determinan la orientación de la curva. Pequeñas flechas marcadas en la gráfica indican esta orientación. Si la curva describe la trayectoria de una objeto, entonces la orientación indica la dirección en la cual el objeto se desplazapor esta trayectoria.




Al emplear las representaciones paramétricas, se debe determinar el intervalo I en el cual se permite que varíe el parámetro. Cuando no se especifica el intervalo I, generalmente se sobreentiende que es (( ( t ( ( o también todos los números reales para los que están definidas f y g.

Aunque en la mayor parte de los casos, el intervalo I, es un intervalo cerrado dela forma [a, b]; en tal caso, los dos puntos [pic] son los extremos de la curva, donde [pic] es el comienzo o punto inicial y [pic] es su llegada, o punto final. Si [pic], es decir, la llegada es igual que el comienzo, se dice que la curva es cerrada. Si la curva no se cruza a sí misma, excepto quizá, en sus extremos, se dice que la curva es simple.EJEMPLO 1 Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas

[pic]

Solución: Para valores de t en el intervalo dado, las ecuaciones paramétricas proporcionan los puntos (x, y) de la tabla.


|t |(2 |(1 |0 |1 |2 |3 |
|x |0 |(3 |(4 |(3 |0 |5 |
|y...