Curvas polares

2. CURVAS EN EL
SISTEMA POLAR

Objetivo:
El alumno obtendrá ecuaciones en forma polar de curvas en el plano y
determinará las características de éstas a partir de su ecuación en forma
polar.

Contenido:
2.1 Sistema de coordenadas polares. Simetría de puntos en coordenadas
polares.
2.2 Transformación de coordenadas cartesianas a polares y de polares a
cartesianas.
2.3 Ecuacionespolares de curvas. Cardioides, lemniscatas, rosas de n
pétalos.
2.4 Análisis de una curva representada por una ecuación polar.

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (r, )

Recta a 90o

r

Polo

Eje polar

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (4, 30o)
R 90o

P (4, 30o)
30o

EP

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (4, –30o)
R 90o

- 30o

EP
P (4, –30o)

SISTEMA POLAR DEREFERENCIA

P (–4, –30o)
R 90o

P (–4, –30o)

- 30o

EP

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA

P (–4, 30o)
R 90o

30o

EP
P (–4, 30o)

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA
Para transformar un valor negativo de r en un valor
positivo, se tienen que sumar 180o al valor de .
Para transformar un valor de negativo en uno positivo, se
tienen que sumar n(360o) al valor de , donde n es un valor
enteropositivo

SISTEMA POLAR DE REFERENCIA
R 90o

II

I
Polo

A (r, )

r

EP

III

IV

SIMETRÍAS EN EL SISTEMA POLAR
R 90o

A (r, )

r

Espejo

EP

r

Simetría con respecto al Eje
Polar

AEP (r,

)

SIMETRÍAS EN EL SISTEMA POLAR
R 90o

AR90 (r,

)

r

Espejo

A (r, )

r

EP

AEP (r, )
AEP ( r, 180o

)

SIMETRÍAS EN EL SISTEMA POLAR
AR90 (r,
AR90 (r,

)

R 90o

A (r, )

)

r
Espejo

180o

EP

r

AP (r, 180o

)

AEP (r, )
AEP ( r, 180o

)

SIMETRÍAS EN EL SISTEMA POLAR
AR90 ( r,
AR90 (r,

)

R 90o

A (r, )

)

r

EP

AP (r, 180o
AP ( r, )

)

AEP (r, )
AEP ( r, 180o

)

ECUACIONES DE TRANSFORMACIÓN
R 90o
Y

A (x, y)
A (r, )

y

r

x

EP
X

ECUACIONES DETRANSFORMACIÓN
R 90o
Y

A (x, y)
A (r, )

x = r cos
y = r sen

r

y

x

r = x2 + y2
= ang tan y
EP
X

x

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = cos

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = 2cos

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = 3cos

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = -3cos

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = 3cos

ECUACIONES POLARES DE OTRASCURVAS
r = 3cos(2 )

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = 3cos(3 )

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = 3cos(4 )

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = 3cos(5 )

ECUACIONES POLARES DE OTRAS CURVAS
r = 3cos( )+1

DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR
La discusión consiste en una serie de pasos que permiten identificar a la curva,
determinando sus características geométricas:

·Intersecciones.
· Simetrías.
· Extensión.
· Gráfica.

DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR
r=

1
1 – cos

Intersecciones:
Para determinar las intersecciones de la curva con el eje polar, se sustituye, en la
ecuación polar, por 0º y por 180º.

r=

1
1 – cos0o

r=

1
1–1

r=

1
0

No existe intersección

r=

1
1 – cos180o

r=

1
1 – (-1)

r=

1
2Intersección en P(½, 180º)

DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR
r=

1
1 – cos

Intersecciones:
Para determinar las intersecciones de la curva con la recta a 90º, se sustituye, en
la ecuación polar, por 90º y por 270º.

r=

1
1 – cos90o
r=

1
1–0

r=1
Intersección en P(1, 90º)

r=

1
1 – cos270o
r=

1
1–0

r=1
Intersección en P(1, 270º)

DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR
r=1
1 – cos

Intersecciones:
Para determinar si la curva interseca o contiene al polo, se sustituye, en la
ecuación polar, r por 0.
1
0=
1 – cos

R90o

0=1
No contiene al polo

EP

DISCUSIÓN DE UNA ECUACIÓN POLAR
r=

1
1 – cos

Simetría:
Para determinar si la curva es simétrica con respecto al eje polar, primero se
sustituye en la ecuación por – y si la ecuación no se...