Curvas Regulares

Matemática III
Vladimiro Contreras Tito
vcontrerastito@hotmail.com

14 de septiembre de 2011
Resumen En esta parte se desarrollara lo que concierne a la caracterizacion de las curvas.

Índice
Índice 1. Curvas regulares 2. Reparametrización de una curva parametrizada 2.1. Longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Longitud de arco como parámetro . . . . . .. . . . . . . . . . . . 3. Vectores Tangente unitario, Normal 3.1. Vector tangente . . . . . . . . . . . 3.2. Vector normal . . . . . . . . . . . . 3.3. Vector binormal . . . . . . . . . . . principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . y Binormal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 5 6 7 7 8 8

1

Matemática III

1 CURVAS REGULARES

1.

Curvasregulares

Definición 1.1. Se dice que una curva C ⊂ Rn es una curva paramétrizada. Si existe una función vectorial α : [a, b] → Rn tal que α([a, b]) = C. A la función α(t) = (α1 (t), α2 (t), ..., αn (t)) se le llama parametrización de la curva C. Ejemplo 1.1. Sea C una curva originada por la intersección del cilindro (x − 2)2 + y 2 = 4 y el plano x + z = 4.¿ Es C una curva parametrizada? Solución Dela ecuación del cilindro se tiene que x = 2 + 2cos(t) e y = 2sen(t). Luego reemplazando estos resultados en la ecuación del plano x + z = 4 obtenemos z = 2 − 2sen(t). Entonces la curva C esta parametrizada por la función vectorial α(t) = (2 + 2cos(t), 2sen(t), 2 − 2sen(t)) para todo t ∈ [0, 2π]

Figura 1: Intersección del cilindro con el plano

Figura 2: Grafica de la curva C

Definición 1.2.Sea C ⊂ Rn una curva parametrizada por α : [a, b] → Rn . 1. Se dice que C es una curva con puntos dobles si: α(t1 ) = α2 (t), t1 = t2 2. Se dice que C es una curva simple si no posee puntos dobles 3. Se dice que C es una curva cerrada si: α(a) = α(b) 4. Se dice que C es una curva regular, si α(t) es de clase C y α (t) = 0 , ∀ t ∈ [a, b]. NOTA 1.1. Una curva regular es aquella curva que admiterectas tangentes en todos los puntos α(t) para todo t ∈ Domα. Vladimiro Contreras Tito Página 2

Matemática III 2 REPARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA PARAMETRIZADA Ejemplo 1.2. ¿la curva C definida por f (t) = (t3 − 4t, t2 − 4) es una curva con puntos dobles?. ¿Es regular? Solución f (t1 ) = f (t2 ) entonces (t3 − 4t1 , t2 − 4) = (t3 − 4t2 , t2 − 4) Luego 1 1 2 2 t3 − 4t1 = t3 − 4t2 1 2 t2 − 4 = t2 − 4 12 (1) (2)

De (2) se tiene que t1 = t2 ó t1 = −t2 . El primer resultado no se considera ya que estamos buscando puntos dobles. Luego reemplazando t1 = −t2 en (1) se tiene que: t = 0 ó t2 = 2 ó t2 = −2. Luego consideramos como t1 = 2 y t2 = 2. Por lo tanto C es una curva con puntos dobles. Finalmente veamos la regularidad de C. f (t) = (3t2 − 4, 2t), luego f (t) = 0 para todo t ∈ Domf = R y f ∈C 1 . por lo tanto C es una curva regular.

Figura 3: curva C definida por la función f .

2.

Reparametrización de una curva parametrizada

Definición 2.1. Sea λ : [a, b] → Rn la parametrización de la curva C. Decimos que µ : [c, d] → Rn es una repametrización de λ si y solo si existe una función ϕ : [a, b] → [c, d] monótona y sobreyectiva tal que λ = µ ◦ ϕ Ejemplo 2.1. Reparametrice lacurva C definida por la función λ(t) = (cos(t), sen(t)) , t ∈ [0, 2π], de tal menera que esté definida sobre el intervalo [0, 1] y que: 1. mantenga su orientación Vladimiro Contreras Tito Página 3

Matemática III 2 REPARAMETRIZACIÓN DE UNA CURVA PARAMETRIZADA 2. invierta la orientación. Solución
t 1. Definamos ϕ(t) = 2π y notemos que ϕ es una función sobreyectiva y monótona creciente (ϕ (t) > 0).Como λ(t) = µ(ϕ(t)) λ(t) = µ(k) y dado que t = 2πk se tiene:

µ(k) = (cos(2πk), sen(2πk)) , k ∈ [0, 1]

Figura 4:

t−0 2π−0

=

k−0 1−0

t 2. Definamos ϕ(t) = 1 − 2π y notemos que ϕ es una función sobreyectiva y monótona decreciente (ϕ (t) < 0). Como λ(t) = µ(ϕ(t)) λ(t) = µ(k) y dado que t = 2π − 2πk se tiene:

µ(k) = (cos(2πk), −sen(2πk)) , k ∈ [0, 1]

Figura 5:

t−0 2π−0

=...