Curvas Y Superficies. Superficies De Revolución. Esfera. Poliedros.

Tema 6: Curvas y superficies. Superficies de revolución. Esfera. Poliedros. Concepto de curva alabeada. Generación. Curva albeada: es una curva tridimensional. Se genera mediante el movimiento de un punto que sigue cualquier ley o ecuación en su movimiento, la cual constituye una función continua en un cierto intervalo. Se llama orden de una curva al número de puntos que pueden ser cortados poruna recta. Elementos geométricos de una curva (figura 1): Secante: es una línea recta que corta a la curva en dos puntos (1 y 3). Tangente: Cuando los dos puntos de corte de una secante están infinitamente próximos (como el 1 y 2), es una tangente. Un punto de tangencia se denomina punto doble. Hay una tangente en cada punto de la curva. Si la tangente se obtiene por traslación del punto 3 hacia elpunto límite 2, de la secante 1-3, se denomina tangente de 1ª especie. Si se obtiene por traslación de la secante 4-3, paralela a la tangente, es de 2ª especie. Punto de inflexión: El punto de tangencia 5, en el que la tangente pasa de un lado al otro de la curva, se denomina “punto de inflexión”. En este caso, la tangente tiene dos elementos infinitesimales comunes con la curva, es un puntotriple (o múltiple). Normal: es la perpendicular a la tangente en el punto de tangencia. Son infinitas y constituyen un plano, el “plano normal”. Plano osculador: es el plano que contiene a la tangente y a un punto de la curva infinitamente próximo a ella. Podría decirse que es el plano que contiene a la tangente y a la curva en un entorno infinitamente pequeño al punto de tangencia. Si la curva esplana, el plano que la contiene es el plano osculador. Si la curva en ese entorno al punto de tangencia es recta, es decir, sin curvatura, no hay plano osculador definido. La intersección del plano normal y el osculador es la “normal principal”, que tiene la dirección del radio de curvatura. Triedro intrínseco a una curva albeada: Es un triedro trirrectángulo cuyos ejes son, la tangente, la normalprincipal, y la binormal, y los planos son, el plano normal, el osculador y el rectificante (figura 1). A cada punto de la curva le corresponde un triedro.

Binormal

an fi c c ti re Pl. ge n te

te

Plano

norm a

l
1 2

ng Ta

en

te ca Se
3

1

2

n te

No r m

al prin c

n Ta

ipal
4

S ec

a n te

Pl. os culad

or

Punto de inflexión

5

Figura1. Triedro intrínseco a una curva albeada.

Concepto de superficie. Generación. Se pueden generar de diversas formas. Con carácter general, una línea que se mueve siguiendo cualquier ley en su movimiento, la cual a su vez, puede variar de forma en su desplazamiento, genera una superficie, la cual está constituida por funciones continuas en determinado dominio. La línea recibe el nombre degeneratriz. La superficie como lugar geométrico: Si una línea se desplaza siguiendo determinadas condiciones geométricas, se puede definir como un lugar geométrico. Por ejemplo: una esfera es el LG de las circunferencias que tienen por diámetro un segmento AB. Un hiperboloide de revolución es el LG de una recta que gira alrededor de un eje (figura 2). La superficie como envolvente: Por ejemplo el toroes la envolvente de la esfera que gira alrededor de un eje exterior a ella (figura 2).
A

B

Esfera

Toro

Hiperboloide reglado de revolución

Conoide reglado de plano director (circular recto)

Figura 2: Superficies. Elementos geométricos de una superficie: Tangente: es una línea que es tangente a una curva de la superficie que pase por dicho punto. Hay infinitas tangentes a lasuperficie por un punto y constituyen un plano tangente a la superficie por dicho punto. Normal: Es una recta perpendicular al plano tangente por el punto de tangencia. Sólo hay una normal en cada punto de la superficie (figura 3).

N
tg

P

tg

Figura 3: Elementos geométricos en una superficie.

Clasificación de superficies. Una clasificación de superficies, atendiendo a la forma de su...