curvas y superficies

Apuntes
de
Geometr´ Diferencial
ıa
de
Curvas y Superficies
Angel Montesdeoca(1)
La Laguna, 2004

(1)

amontes@ull.es

http://webpages.ull.es/users/amontes

Contenido
TEMA I. Representaci´n param´trica de curvas
o
e
1.1
1.2
1.3
1.4

Representaci´n param´trica de curvas . . .
o
e
Representaciones param´tricas equivalentes
e
Curvas param´tricas regulares . . . . . . . .e
Longitud de arco de una curva . . . . . . .
Parametrizaci´n natural . . . . . . . .
o

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1
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2
4
6
7
9

TEMA II. Tangente y plano osculador a una curva13

2.1

13
15
17
20

2.2
2.3

Contacto de curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Determinaci´n del orden de contacto de curvas . . . . . . . . . .
o
Uso de parametrizaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpretaci´n m´trica de la noci´n de contacto . . . . . . . . .
o
e
o
Determinaci´n de orden de contacto entre curvas cuando una deo
ellas viene dada en forma impl´
ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tangente a una curva param´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Ecuaci´n de la recta tangente en una parametrizaci´n general .
o
o
Contacto de una curva con un plano. Plano osculador . . . . . . . .
Ecuaci´n del plano osculador en una parametrizaci´n general . .
o
o
Una caracterizaci´n del planoosculador . . . . . . . . . . . . . .
o

TEMA III. Triedro de Frenet y F´rmulas de Frenet
o
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

El triedro de Frenet . . . . . . . . .
F´rmulas de Frenet . . . . . . . . . .
o
Curvatura de una curva . . . . . . .
Circunferencia osculatriz . . . . . . .
Torsi´n de una curva . . . . . . . . .
o
Posici´n de una curva con respecto a
o

..
..
..
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..
sus...........
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...........
triedros de Frenet

31
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TEMA IV. Ecuaci´n natural de una curva
o
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

Teorema fundamental de la teor´ de curvas . . .
ıa
Soluci´n general de las ecuaciones intr´
o
ınsecas
H´lice general . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
e
Esfera osculatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas esf´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
Ecuaci´n de Riccati . . . . . . . . . . . . . . . .
o

21
24
25
26
28
28

31
33
34
36
37
38
41

........
de una curva
........
........
........
........

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41
43
46
47
4950

TEMA V. Curvas deducidas de otras

53

5.1
5.2
5.3

53
55
56

Evolutas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Involutas de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Curvas paralelas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
i

5.4

Envolvente de curvas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A)Caso de curvas dadas en forma impl´
ıcita . . . . . . . . . . .
B) Envolventes de curvas planas dadas en forma param´trica . .
e
Envolvente de una familia de curvas planas dependientes de dos
par´metros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
a

59
60
62
65

TEMA VI. Representaci´n param´trica de superficies
o
e

67

6.1
6.2
6.3

67
70
75

6.4Superficie simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Superficies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Plano tangente y vector normal a una superficie dada por una
representaci´n param´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e
Ecuaci´n del plano tangente...