Curvas

En geometría algebraica, una curva algebraica es una variedad algebraica de dimensión uno. La teoría acerca de estas curvas fue extensamente desarrollada durante el siglo xix, tras considerarse numerosos ejemplos comenzando por círculos y otrassecciones cónicas.

La cúbica de Tschirnhausen es una curva algebraica de grado tres.
Contenido  [ocultar]  * 1 Curvas algebraicas planas *2 Curvas proyectivas * 3 Funciones cuerpo algebraicas * 4 Curvas complejas y superficies reales * 5 Superficies de Riemann compactas * 6 Singularidades * 6.1 Clasificación de singularidades * 7 Ejemplos de curvas * 7.1 Curvas racionales * 7.2 Curvas elípticas * 7.3 Curvas de género mayores que uno * 8 Véase también * 9 Referencias * 10 Enlaces externos |-------------------------------------------------
[editar]Curvas algebraicas planas
Una curva algebraica definida sobre un cuerpo F puede considerarse como el lugar geométrico de los puntos en Fn determinados por al menos n − 1 funciones polinómicas independientes en n variables con coeficientes en F, gi(x1, …, xn), en donde la curva se define escribiendo cada gi = 0.
Utilizando la resultante, se puedeneliminar todas las variables excepto dos y reducir la curva a una curva plana birracionalmente equivalente, f(x, y) = 0, aún con coeficientes en F, pero usualmente de mayor grado y con singularidades adicionales. Por ejemplo:
1) Eliminando z entre las dos ecuaciones x2 + y2 − z2 = 0 y x + 2y + 3z − 1 = 0, que definen la intersección del cono y un plano en tres dimensiones, se obtiene la seccióncónica 8x2 + 5y2 − 4xy + 2x + 4y − 1 = 0, que en este caso es una elipse.
2) Si se elimina z entre 4x2 + y2 − z2 = 1 y z = x2, se obtiene y2 = x4 − 4x2 + 1, que es la ecuación de una curva hiperelíptica.
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[editar]Curvas proyectivas
A veces es deseable considerar a las curvas como un lugar geométrico de puntos en el espacio proyectivo. En el conjuntode ecuaciones gi = 0, se puede reemplazar cada xk con xk/x0, y multiplicar por x0n, donde n es el grado de gi. De este modo se obtienen funciones polinómicas homogéneas, que definen la curva correspondiente en el espacio proyectivo Pn. Para una curva algebraica plana se tiene la ecuación única f (x, y, z) = 0, donde f es homogénea; por ejemplo, la curva de Fermatxn + yn - zn = 0 es una curvaproyectiva.
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[editar]Funciones cuerpo algebraicas
El estudio de curvas algebraicas se puede contraer al estudio de curvas algebraicas irreducibles. A menos de una equivalencia birracional, son categorías equivalentes a las funciones cuerpo de variedades algebraicas. Una función de cuerpo de una variedad algebraica es un cuerpo de funciones algebraicasen una variable K definida sobre un cuerpo dado F. Esto significa que existe un elemento x de K que es trascendental sobre F, y que un tal K es una extensión algebraica finita de F(x), que es el cuerpo de funciones racionales en la indeterminada x sobre F.
Por ejemplo sobre el cuerpo C de los números complejos, se puede definir el cuerpo C(x) de funciones racionales en C. Si y2 = x3 − x − 1,entonces el cuerpo C(x, y) es un cuerpo de función elíptica. El elemento x no está unívocamente determinado; el cuerpo también se puede ver, por ejemplo, como una extensión de C(y). La curva algebraica correspondiente a la función cuerpo es simplemente el conjunto de puntos (x, y) en C2 que satisfacen y2 = x3 − x − 1.
Si el cuerpo F no es algebraicamente cerrado, el punto de vista de las funcionescuerpo es algo más general que considerar el lugar geométrico de puntos, dado que se incluye, por ejemplo, «curvas» sin ningún punto. Si el cuerpo base F es el cuerpo Rde los números reales, entonces x2 + y2 = −1 define una extensión algebraica de cuerpo sobre R(x), pero la curva correspondiente considerada como el lugar geométrico, no tiene puntos en R. No obstante, sí tiene puntos definidos...