Curvas

CÁLCULO I
( TRAZADO DE CURVAS)
Profesor: Julián Herranz Calzada
Departamento de Matemática Aplicada a los Recursos Naturales

INTRODUCCIÓN Y OBJETIVOS
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La gráfica de una función y=f(x) es el lugar geométrico de los puntos cuyas coordenadas satisfacen la expresión y=f(x).

Pero es más, una gráfica determina en si misma una función, independientemente de si la función puede ser expresadamediante una función analítica o no. NO SE PRETENDE dibujar con precisión (por puntos) la gráfica de la función.
OBJETIVO.- Obtener un esbozo, una representación aproximada de la curva, estudiando sólo los puntos representativos: comportamiento en el infinito, ramas infinitas, parabólicas, asintóticas, puntos de corte con los ejes, puntos múltiples y sus tipos etc.
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Sólo se estudiarán los puntos mínimos imprescindibles para realizar el trazado aproximado y sólo si fuese necesario se estudiarán y situarán los puntos máximos, mínimos y de inflexión. Atendiendo a los sistemas de referencia las curvas pueden clasificarse en cartesianas y polares. Dentro de ellas podemos también clasificarlas atendiendo a la forma en que están expresadas:Explícitas   Cartesianas Paramétricas  Implícitas 

y  f ( x)  y   (t )   x   (t ) F ( x, y )  0

Explícitas   f ( ) Polares  Implícitas F (  , )  0

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Nota.El paso de una forma de expresión a otra no está siempre asegurado. Sólo el paso de la forma explícita a cualquiera de las otras dos es siempre posible. Estaes la razón por la que hay que estudiar la representación de curvas en todas sus formas.

Se estudian en primer lugar las curvas expresadas en la forma paramétrica constituyendo las explícitas un caso particular de éstas si consideramos simplemente x=t. A continuación se estudiarán las curvas expresadas en forma implícita mediante el uso del método de Newton-Cramer.
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Nota.Es posible pasar del sistema de representación polar al cartesiano y viceversa. Las ecuaciones de paso son:

x   cos        y 1 2 y   sin     arctan  cos    x 1  tan 2  

 2  x2  y 2 

 2  x2  y 2 

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Ejemplo
Vamos a pasar a cartesianas la siguiente curva expresada encoordenadas polares:

  2cos  4cos sin 2 
y y  tan   x x por trigonometría se sabe que tan  1 sin   cos  1  tan 2  1  tan 2 

  x2  y 2

  arctan

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 y   1 1 x x2  y 2 =  2 4 2 2 2  y  y  y 1   1   1   x x x x2  y 2 = 2 x x y
2 2

2



4y x

2



x y
2

2



3


2

2 x  x 2 y 2   4 y 2 x



x y
2

2



3

2

x

2

y

2 2



 2x  x2  y 2   4 y 2 x  0   x2  y 2   x  2  x   y 2   4 y 2 x  0  

que es su expresión cartesiana implícita.
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Podemos parametrizarla haciendo x   cos e y   sin  x   cos  2cos 2   4cos 2  sin 2   2cos 2   2sin 2   1 y   sin   2sin cos  4cos sin 3   sin 2  2sin 2   1 ahora basta cambiar  por t  x  2cos 2 t  2sin 2 t  1   2  y  sin 2t  2sin t  1  x 2  t 2  1

1  t 

2 2

y

2t  t 2  1

1  t 

2 2

es una parametrización equivalente a la anterior

y a la que se puede llegar fácilmente si se hace el cambio t  tan t
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En efecto x  2cos 2 t  2sin 2 t  1   2  y  sin 2t  2sin t  1  tan 2 t 2t 2 t2 1  2sin t  1  2 1  tan 2 t  1  1  t 2  1  1  t 2
2

2 1 t 2  1 2  t  1 x  2cos 2 t  2sin 2 t  1  2  2 2 2 2 1 t 1 t 1  t 

y  2sin t cos t  2sin 2 t  1  2

t 1 t2

2 t 2  1 2t  t  1  2 1 t2 2 2 1 t 1  t 

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Evidentemente, en cada una de las dos formas parametrizadas...